Плоскость α α не пересекает параллелограмм M N K P MNKP. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α α в точках M 1 M 1 , N 1 N 1 , K 1 K 1 и P 1 P 1 соответственно. Известно, что M M 1 = 23 MM 1 =23, N N 1 = 12 NN 1 =12 и P P 1 = 24 PP 1 =24. Найди длину отрезка K K 1 KK 1 .

Ответ: \(KK_1=13\).

Кратко: у параллелепипеда-параллелограмма противоположные вершины \(M\) и \(K\), \(N\) и \(P\). Для расстояний вдоль параллельных прямых до одной плоскости выполняется равенство

\[ MM_1+KK_1=NN_1+PP_1. \]

Тогда

\[ 23+KK_1=12+24=36, \]

\[ KK_1=36-23=13. \]

Почему так: плоскость \(\alpha\) не пересекает параллелограмм, значит все его вершины лежат по одну сторону от \(\alpha\). Если выбрать координату вдоль данных параллельных прямых, то расстояние от точки до \(\alpha\) вдоль такой прямой меняется как линейная функция координат точки. Для противоположных вершин параллелограмма суммы координат равны, поэтому равны и суммы соответствующих расстояний. Отсюда \(d(M)+d(K)=d(N)+d(P)\).

Проверка: \(23+13=36\), \(12+24=36\) — сходится.