Реши задание на изображении
Кратко:
Даны \(\vec a=(5;-1;3)\), \(\vec b=(1;2;-1)\).
- \(|\vec a|=\sqrt{35}\)
- \(\vec a\cdot\vec b=0\) — векторы перпендикулярны
- \(4\vec b+\vec a=(9;7;-1)\)
Во второй задаче: \[ \boxed{n=-1} \]
Как это получается
1) Длина вектора
\[
|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
\]
\[
|\vec a|=\sqrt{5^2+(-1)^2+3^2}
=\sqrt{25+1+9}
=\boxed{\sqrt{35}}
\]
2) Скалярное произведение
Нужно перемножить соответствующие координаты и сложить:
\[
\vec a\cdot\vec b=5\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1)
\]
\[
=5-2-3=\boxed{0}
\]
Если скалярное произведение равно \(0\), то векторы перпендикулярны.
3) Линейные действия с векторами
Умножение на число и сложение выполняются покоординатно:
\[
4\vec b=4(1;2;-1)=(4;8;-4)
\]
\[
4\vec b+\vec a=(4;8;-4)+(5;-1;3)
=\boxed{(9;7;-1)}
\]
Вторая задача
Дано: \[ \vec a=(n;-2;1),\qquad \vec b=(n;-n;1) \] и \(\vec a\perp\vec b\). Значит, \[ \vec a\cdot\vec b=0 \]
Считаем скалярное произведение: \[ n\cdot n+(-2)\cdot(-n)+1\cdot1=0 \] \[ n^2+2n+1=0 \] \[ (n+1)^2=0 \] \[ \boxed{n=-1} \]
Проверка: при \(n=-1\) \[ \vec a=(-1;-2;1),\quad \vec b=(-1;1;1) \] \[ \vec a\cdot\vec b=1-2+1=0 \] Всё верно.
