Сколько прямых, заданных вершинами куба A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны плоскости ( B 1 B C ) (B 1 BC)?
Краткий ответ: 6 прямых.
Объяснение:
Введём координаты куба: \[ A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(1,1,0),\ D(0,1,0), \] \[ A_1(0,0,1),\ B_1(1,0,1),\ C_1(1,1,1),\ D_1(0,1,1). \]
Через точки \(B_1,B,C\) проходит плоскость \[ (B_1BC):\quad x=1. \] Это правая грань куба.
Прямая, проходящая через две вершины, параллельна плоскости \(x=1\), если её направление не меняет \(x\)-координату. Значит, у двух вершин должна быть одинаковая \(x\)-координата.
Вершины с \(x=0\): \[ A,D,A_1,D_1 \] — 4 точки. Они задают \[ \binom{4}{2}=6 \] прямых. Все эти прямые лежат в плоскости \(x=0\), а она параллельна плоскости \(x=1\), значит, эти 6 прямых параллельны \((B_1BC)\).
Вершины с \(x=1\): \[ B,C,B_1,C_1 \] тоже задают 6 прямых, но все они лежат в самой плоскости \((B_1BC)\). По школьному определению прямая не считается параллельной плоскости, если лежит в ней.
Итого подходящих прямых: \[ \boxed{6} \]
Если бы в вашем учебнике линия, лежащая в плоскости, условно тоже считалась «параллельной», тогда было бы \(12\), но в стандартном школьном определении ответ — 6.
