Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(\angle COD=90^\circ,\ \angle OCD=40^\circ,\ \angle CDO=50^\circ\).
- а) \(\triangle ABM=\triangle CDK\); б) \(AMCK\) — параллелограмм.
1. Ромб \(ABCD\)
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому сразу:
\[ \angle COD=90^\circ. \]
Противоположные углы ромба равны:
\[ \angle BCD=\angle BAD=80^\circ. \]
Диагональ \(AC\) в ромбе делит угол пополам, значит:
\[ \angle OCD=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \]
Соседний с углом \(BAD\) угол:
\[ \angle CDA=180^\circ-80^\circ=100^\circ. \]
Диагональ \(BD\) тоже делит угол пополам:
\[ \angle CDO=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ. \]
Проверка:
\[ 90^\circ+40^\circ+50^\circ=180^\circ. \]
Принцип: диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
2. Прямоугольник \(ABCD\)
а) Доказать: \(\triangle ABM=\triangle CDK\)
Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CDK\).
- \(AB=CD\) — противоположные стороны прямоугольника.
- \(BM=DK\) — по условию.
- \(\angle ABM=\angle CDK\), потому что \(AB\parallel CD\), а \(BD\) — секущая; точки \(M\) и \(K\) лежат на \(BD\).
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними — признак SAS.
б) Вид четырёхугольника \(AMCK\)
Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке \(O\). Тогда:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Так как \(BM=DK\), точки \(M\) и \(K\) расположены симметрично относительно \(O\), поэтому:
\[ OM=OK. \]
То есть в четырёхугольнике \(AMCK\) диагонали \(AC\) и \(MK\) точкой \(O\) делятся пополам. По признаку параллелограмма:
\[ AMCK \text{ — параллелограмм.} \]
В общем случае это не ромб и не прямоугольник — именно параллелограмм.
