Выкорчёвывать или выкорчевывать

Правильно: выкорчёвывать — с буквой ё.

Как понять:

1. Исходный глагол — корчева́ть.
2. От него образуется глагол несовершенного вида с суффиксом -ёвыва-: вы-корч-ёвыва-ть.
3. В этом суффиксе под ударением пишется ё. Проверяем формами: выкорчёвываю, выкорчёвывал.

Сравни виды:

• вы́корчевать пни — что сделать?
• выкорчёвывать пни — что делать?

В тексте без буквы ё можно встретить написание «выкорчевывать», но словарная норма — выкорчёвывать.