Сделай конспект по тексту

Краткий ответ: Конспект по теме «Сдвиги графика квадратичной функции». Главная идея: графики функций \(y = ax^2 + n\) и \(y = a(x - m)^2\) — это та же стандартная парабола \(y = ax^2\), но сдвинутая вдоль осей координат. Значения \(m\) и \(n\) отвечают за горизонтальный и вертикальный сдвиги соответственно.

Подробный конспект: Графики функций \(y = ax^2 + n\) и \(y = a(x - m)^2\)

1. Вертикальный сдвиг: \(y = ax^2 + n\)

• Чтобы получить график этой функции, нужно взять график \(y = ax^2\) и сдвинуть каждую его точку вдоль оси \(y\):
  • на \(n\) единиц вверх, если \(n > 0\);
  • на \(|n|\) единиц вниз, если \(n < 0\).
• Почему так? Координата \(x\) остается прежней, а к координате \(y\) каждой точки прибавляется число \(n\). Точка \((x_0; y_0)\) переходит в \((x_0; y_0 + n)\).
• Пример: \(y = \frac{1}{2}x^2 + 3\) — это парабола \(y = \frac{1}{2}x^2\), поднятая на 3 единицы вверх (ее вершина переместится в точку \((0; 3)\)).

2. Горизонтальный сдвиг: \(y = a(x - m)^2\)

• Чтобы получить график этой функции, график \(y = ax^2\) сдвигают вдоль оси \(x\):
  • на \(m\) единиц вправо, если \(m > 0\);
  • на \(|m|\) единиц влево, если \(m < 0\) (обратите внимание на знак: \(y = a(x + m)^2\) означает сдвиг влево).
• Почему так? Точка с координатой \(x_0\) на исходном графике давала высоту \(y_0\). Чтобы получить ту же высоту на новом графике, нужно подставить \(x = x_0 + m\), так как \((x_0 + m) - m = x_0\). Точка \((x_0; y_0)\) переходит в \((x_0 + m; y_0)\).
• Пример: \(y = \frac{1}{2}(x - 5)^2\) — парабола сдвинута на 5 единиц вправо (вершина в точке \((5; 0)\)).

3. Комбинированный сдвиг: \(y = a(x - m)^2 + n\)

• Здесь применяются оба сдвига: график \(y = ax^2\) смещается на \(m\) единиц вдоль оси \(x\) и на \(n\) единиц вдоль оси \(y\).
• Вершина такой параболы находится в точке \((m; n)\).
• Выполнять переносы можно в любом порядке (сначала по горизонтали, потом по вертикали или наоборот) — результат будет одинаковым.

4. Общие правила для любых функций (не только квадратичных) Все эти закономерности работают для любых графиков функций \(y = f(x)\):

• \(y = f(x) + n\) — сдвиг вдоль оси \(y\).
• \(y = f(x - m)\) — сдвиг вдоль оси \(x\).
• \(y = f(x - m) + n\) — два параллельных переноса.

5. Применение на практике (по тексту учебника) Пример с аркой моста: уравнение арки имеет вид \(y = ax^2 + n\).

• Зная высоту арки (она же координата вершины \(n = 8\)), берем уравнение \(y = ax^2 + 8\).
• Зная ширину моста, подставляем точку края \(B(40; 0)\) и находим \(a\): \(0 = a \cdot 1600 + 8\), откуда \(a = -0,005\).
• Так мы получаем уравнение не просто через сдвиг, а можем найти высоту опор в любой точке, подставляя нужный \(x\).

6. Дополнительный факт (из текста) Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, получится поверхность — параболоид. Это свойство используют в фарах и антеннах: если направить на параболоид пучок лучей параллельно его оси, после отражения они все соберутся в одной точке — фокусе.

Как проверить себя: Возьмите функцию \(y = -2(x + 3)^2 - 1\). Вам нужно: взять график \(y = -2x^2\) (перевернутая и более узкая парабола) и сдвинуть его на 3 единицы влево (так как \(x + 3 = x - (-3)\)) и на 1 единицу вниз. Вершина окажется в точке \((-3; -1)\).