Номер 1006
Краткий ответ:
\[ \text{а) }\frac{xy^{11}}{3};\qquad \text{б) }\frac75a^4b^4;\qquad \text{в) }5p^3c^3;\qquad \text{г) }\frac{2y^9}{x^8}. \]
Как решать
Отрицательная степень означает обратную величину:
\[ x^{-n}=\frac1{x^n},\qquad \frac1{x^{-n}}=x^n. \]
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ x^m\cdot x^n=x^{m+n}. \]
При делении — вычитаются:
\[ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}. \]
Коэффициенты считаем отдельно.
а)
\[ \frac{13x^{-2}}{y}\cdot\frac{y^{12}}{39x^{-3}} = \frac{13}{39}\cdot x^{-2-(-3)}\cdot y^{12-1} = \frac13\cdot x\cdot y^{11} = \frac{xy^{11}}{3}. \]
б)
\[ \frac{5a^5}{b^{-7}}\cdot\frac{7b^{-3}}{25a} = \frac{5\cdot7}{25}\cdot a^{5-1}\cdot b^{7-3} = \frac75a^4b^4. \]
в)
\[ \frac{p}{3c^{-2}}\cdot\frac{15c}{p^{-2}} = \frac{pc^2}{3}\cdot15cp^2 = 5p^3c^3. \]
г)
\[ \frac{26x^{17}}{y^{-8}}\cdot\frac{y}{13x^{25}} = \frac{26}{13}\cdot x^{17-25}\cdot y^{8+1} = 2x^{-8}y^9 = \frac{2y^9}{x^8}. \]
Проверка: в каждом ответе отрицательных показателей уже нет, а показатели при одинаковых основаниях пересчитаны по правилам сложения и вычитания степеней.
Обсуждение
4 сообщенияНомер 1007
Ответы:
\[ \text{а) }4x;\qquad \text{б) }3b;\qquad \text{в) }4a^4b^2c^4;\qquad \text{г) }\frac{8y^5z}{3x^2}. \]
Краткие шаги
а)
\[ (0{,}25x^{-4}y^{-3})^2 =\left(\frac14\right)^2x^{-8}y^{-6} =\frac1{16}x^{-8}y^{-6}, \]
\[ \left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)^{-3} =\left(\frac{4y^2}{x^{-3}}\right)^3 =64x^9y^6. \]
Перемножаем:
\[ \frac1{16}\cdot64\cdot x^{-8+9}\cdot y^{-6+6} =4x. \]
б)
\[ \left(\frac{a^{-3}b^4}{9}\right)^{-2} =81a^6b^{-8}, \]
\[ \left(\frac{3}{a^{-2}b^3}\right)^{-3} =\frac1{27}a^{-6}b^9. \]
Тогда
\[ 81\cdot\frac1{27}\cdot a^{6-6}\cdot b^{-8+9} =3b. \]
в)
\[ \left(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2}\right)^{-2} =100a^{10}b^4c^8, \]
\[ (5a^3bc^2)^{-2} =\frac1{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4}. \]
Перемножаем:
\[ 100\cdot\frac1{25}\cdot a^{10-6}\cdot b^{4-2}\cdot c^{8-4} =4a^4b^2c^4. \]
г)
\[ \left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} =216x^{-6}y^9z^3, \]
\[ \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^2 =\frac1{81}x^4y^{-4}z^{-2}. \]
Тогда
\[ \frac{216}{81}\cdot x^{-6+4}\cdot y^{9-4}\cdot z^{3-2} =\frac83x^{-2}y^5z =\frac{8y^5z}{3x^2}. \]
Получше
Вот более аккуратное и подробное решение № 1007.
Используем правила:
\[ x^{-n}=\frac1{x^n},\qquad \left(\frac AB\right)^{-n}=\left(\frac BA\right)^n, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
а)
\[ (0{,}25x^{-4}y^{-3})^2 =\left(\frac14\right)^2x^{-8}y^{-6} =\frac1{16}x^{-8}y^{-6}. \]
\[ \left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)^{-3} =\left(\frac{4y^2}{x^{-3}}\right)^3 =(4x^3y^2)^3 =64x^9y^6. \]
Умножаем:
\[ \frac1{16}x^{-8}y^{-6}\cdot 64x^9y^6 =4x. \]
Ответ: \(4x\).
б)
\[ \left(\frac{a^{-3}b^4}{9}\right)^{-2} =\left(\frac{9}{a^{-3}b^4}\right)^2 =(9a^3b^{-4})^2 =81a^6b^{-8}. \]
\[ \left(\frac{3}{a^{-2}b^3}\right)^{-3} =\left(\frac{a^{-2}b^3}{3}\right)^3 =\frac{a^{-6}b^9}{27} =\frac{b^9}{27a^6}. \]
Умножаем:
\[ 81a^6b^{-8}\cdot \frac{b^9}{27a^6} =3b. \]
Ответ: \(3b\).
в)
\[ \left(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2}\right)^{-2} =\left(\frac{10a^5b^2}{c^{-4}}\right)^2 =(10a^5b^2c^4)^2 =100a^{10}b^4c^8. \]
\[ (5a^3bc^2)^{-2} =\frac1{(5a^3bc^2)^2} =\frac1{25a^6b^2c^4}. \]
Умножаем:
\[ 100a^{10}b^4c^8\cdot \frac1{25a^6b^2c^4} =4a^4b^2c^4. \]
Ответ: \(4a^4b^2c^4\).
г)
\[ \left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} =\left(\frac{6z}{x^2y^{-3}}\right)^3 =\left(\frac{6zy^3}{x^2}\right)^3 =\frac{216y^9z^3}{x^6}. \]
\[ \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^2 =\frac{x^4y^{-4}}{81z^2} =\frac{x^4}{81y^4z^2}. \]
Умножаем:
\[ \frac{216y^9z^3}{x^6}\cdot \frac{x^4}{81y^4z^2} = \frac{216}{81}\cdot \frac{y^5z}{x^2} = \frac83\cdot\frac{y^5z}{x^2} = \frac{8y^5z}{3x^2}. \]
Ответ: \(\dfrac{8y^5z}{3x^2}\).
Итог
\[ \boxed{\text{а) }4x;\qquad \text{б) }3b;\qquad \text{в) }4a^4b^2c^4;\qquad \text{г) }\frac{8y^5z}{3x^2}.} \]
