Сделай номер 93 и 94 с пояснениями
Краткий ответ
№93: все функции ограничены на указанных промежутках: а) \(7 \le f(x) \le 9\); б) \(-8 < f(x) \le 27\); в) \(0 \le f(x) \le 16\); г) \(1 < f(x) \le 6\).
№94: а), б) — неограниченные; в), д), е) — ограниченные; г), ж), з) — ограничены снизу, но сверху не ограничены.
Что значит «функция ограничена»
Функция \(f(x)\) ограничена, если можно указать два числа \(m\) и \(M\), между которыми лежат все её значения: \[ m \le f(x) \le M. \] Тогда \(M\) — верхняя граница, \(m\) — нижняя. Если график уходит вверх до бесконечности, верхней границы нет; если вниз — нет нижней.
№93
а) \(f(x)=2x-3\), \(x\in[5;6]\). \[ 5\le x\le6 \;\Rightarrow\; 10\le2x\le12 \;\Rightarrow\; 7\le2x-3\le9. \] Значит \(7\le f(x)\le9\). Верхняя граница \(9\), нижняя \(7\). Функция ограничена.
б) \(f(x)=x^3\), \(x\in(-2;3]\). Функция \(x^3\) возрастает, поэтому \[ -8<x^3\le27. \] Верхняя граница \(27\), нижняя \(-8\) (не достигается). Функция ограничена.
в) \(f(x)=x^4\), \(x\in[-2;2)\). Так как \(|x|\le2\), то \(x^4\le16\), при этом \(x^4\ge0\). Значит \[ 0\le f(x)\le16. \] Верхняя граница \(16\), нижняя \(0\). Функция ограничена.
г) \(f(x)=\dfrac6x\), \(x\in[1;6)\). \[ 1\le x<6 \;\Rightarrow\; \frac16<\frac1x\le1 \;\Rightarrow\; 1<\frac6x\le6. \] Верхняя граница \(6\), нижняя \(1\) (не достигается). Функция ограничена.
№94
Смотрим на график: если его можно поместить в горизонтальную полосу, функция ограничена.
а) \(y=-5x+4\). Прямая: при \(x\to-\infty\) уходит в \(+\infty\), при \(x\to+\infty\) — в \(-\infty\). Неограниченная (ни сверху, ни снизу).
б) \(y=x^5\). При \(x\to+\infty\) \(y\to+\infty\), при \(x\to-\infty\) \(y\to-\infty\). Неограниченная.
в) \(y=-x^2\), \(-3\le x\le3\). Парабола ветвями вниз: наибольшее значение \(0\) при \(x=0\), наименьшее \(-9\) при \(x=\pm3\). Значит \[ -9\le y\le0. \] Ограниченная.
г) \(y=\sqrt x\). Область \(x\ge0\), значения \(y\ge0\); при \(x\to+\infty\) \(y\to+\infty\). Ограничена снизу (\(0\)), сверху не ограничена.
д) \(y=\sqrt{x-2}\), \(x<10\). Подкоренное выражение неотрицательно: \(x\ge2\), поэтому \(2\le x<10\). Тогда \[ 0\le y<\sqrt8=2\sqrt2. \] Ограниченная; верхняя граница \(2\sqrt2\), нижняя \(0\).
е) \(y=\dfrac{12}{x}\), \(-6<x<-1\). На этом промежутке \(x<0\), функция убывает. Концы не входят: при \(x=-6\) было бы \(-2\), при \(x=-1\) было бы \(-12\). Значит \[ -12<y<-2. \] Ограниченная; верхняя граница \(-2\), нижняя \(-12\).
ж) \(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}\), \(-4\le x\le4\), \(x\ne0\). При \(x=\pm4\) значение \(\frac1{16}\), а при приближении к \(0\) функция неограниченно растёт: \[ y\ge\frac1{16}. \] Ограничена снизу, сверху не ограничена.
з) \(y=|x+3|\). График — «галочка» с вершиной в \((-3;0)\). Значения \(y\ge0\); при \(x\to\pm\infty\) \(y\to+\infty\). Ограничена снизу (\(0\)), сверху не ограничена.
Проверка. В №93 подстановка концов промежутков даёт значения, лежащие между указанными границами. В №94 выводы согласуются с поведением графиков: полоса есть — функция ограничена; график уходит вверх или вниз — соответствующей границы нет.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни во всех номерах прям, как писать доказательства?
Сначала — общий шаблон, а потом по каждому пункту готовые фразы, которые можно писать в тетради.
Как вообще оформлять доказательство
Чтобы доказать, что функция ограничена, нужно получить для всех \(x\) из области определения двойное неравенство \[ m\le f(x)\le M. \] Пишем так:
Пусть \(x\) — произвольное число из области определения. Тогда … (цепочка неравенств) … Получили \(m\le f(x)\le M\). По определению функция ограничена.
Чтобы доказать, что функция не ограничена сверху, нужно показать: какое бы число \(M\) ни взяли, найдётся \(x\), при котором \(f(x)>M\). Пишем:
Покажем, что сверху функция не ограничена. Пусть \(M\) — любое число. Возьмём \(x=\ldots\). Тогда \(f(x)=\ldots>M\). Значит, никакое \(M\) не является верхней границей.
Чтобы доказать, что функция не ограничена снизу:
Пусть \(m\) — любое число. Возьмём \(x=\ldots\). Тогда \(f(x)=\ldots<m\). Значит, снизу функция не ограничена.
Важно: если граница не достигается, это не мешает ограниченности. Можно писать и строгие, и нестрогие неравенства.
№93
Здесь во всех пунктах надо доказать ограниченность.
93 а) \(f(x)=2x-3,\quad x\in[5;6]\)
Запись:
Для любого \(x\in[5;6]\): \[ > 5\le x\le 6 \ \Rightarrow\ 10\le 2x\le 12 \ \Rightarrow\ 7\le 2x-3\le 9. > \] Значит, \(7\le f(x)\le 9\). По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, например \(m=7,\ M=9\).
93 б) \(f(x)=x^3,\quad x\in(-2;3]\)
Запись:
Функция \(t\mapsto t^3\) возрастает. Поэтому из \(-2<x\le 3\) следует \[ > (-2)^3<x^3\le 3^3, > \] то есть \[ > -8<x^3\le 27. > \] Значит, \(-8\le f(x)\le 27\). По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=-8,\ M=27\). Нижняя граница не достигается, но это не важно.
93 в) \(f(x)=x^4,\quad x\in[-2;2)\)
Запись:
Для любого \(x\in[-2;2)\) имеем \(|x|\le 2\). Поэтому \[ > x^2\le 4,\qquad x^4\le 16. > \] Кроме того, \(x^4\ge 0\). Значит, \[ > 0\le x^4\le 16. > \] По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=0,\ M=16\).
93 г) \(f(x)=\dfrac6x,\quad x\in[1;6)\)
Запись:
Для любого \(x\in[1;6)\): \[ > 1\le x<6. > \] Все числа положительны, поэтому \[ > \frac16<\frac1x\le 1. > \] Умножим на \(6\): \[ > 1<\frac6x\le 6. > \] Значит, \(1<f(x)\le 6\). По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=1,\ M=6\).
№94
Здесь важно различать: где-то функция ограничена, а где-то только снизу.
94 а) \(y=-5x+4\)
Запись:
Покажем, что функция не ограничена сверху. Пусть \(M\) — любое число. Возьмём \[ > x=\frac{4-M}{5}-1. > \] Тогда \[ > y=-5x+4=M+5>M. > \] Значит, сверху функция не ограничена.
Покажем, что она не ограничена снизу. Пусть \(m\) — любое число. Возьмём \[ > x=\frac{4-m}{5}+1. > \] Тогда \[ > y=-5x+4=m-5<m. > \] Значит, снизу функция тоже не ограничена.
Вывод: не ограничена ни сверху, ни снизу.
94 б) \(y=x^5\)
Запись:
Покажем, что функция не ограничена сверху. Пусть \(M\) — любое число. Возьмём \[ > x=M^{1/5}+1. > \] Так как \(x>M^{1/5}\), а функция \(t^5\) возрастает, то \[ > y=x^5>M. > \] Значит, сверху функция не ограничена.
Покажем, что она не ограничена снизу. Пусть \(m\) — любое число. Возьмём \[ > x=m^{1/5}-1. > \] Тогда \(x<m^{1/5}\), поэтому \[ > y=x^5<m. > \] Значит, снизу функция тоже не ограничена.
Вывод: не ограничена ни сверху, ни снизу.
94 в) \(y=-x^2,\quad -3\le x\le 3\)
Запись:
Для любого \(x\in[-3;3]\) имеем \(|x|\le 3\), поэтому \[ > x^2\le 9. > \] Кроме того, \(x^2\ge 0\). Умножая неравенство \(0\le x^2\le 9\) на \(-1\), получаем \[ > -9\le -x^2\le 0. > \] Значит, \[ > -9\le y\le 0. > \] По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=-9,\ M=0\).
94 г) \(y=\sqrt{x}\)
Запись:
Область определения: \(x\ge 0\).
Для всех \(x\ge 0\) имеем \[ > \sqrt{x}\ge 0. > \] Значит, функция ограничена снизу.
Покажем, что сверху она не ограничена. Пусть \(M>0\). Возьмём \[ > x=(M+1)^2. > \] Тогда \(x\ge 0\) и \[ > y=\sqrt{x}=M+1>M. > \] Значит, сверху функция не ограничена.
Вывод: ограничена снизу, сверху не ограничена.
94 д) \(y=\sqrt{x-2},\quad x<10\)
Запись:
Сначала найдём область определения: \[ > x-2\ge 0 \ \Rightarrow\ x\ge 2. > \] Вместе с условием \(x<10\) получаем \[ > 2\le x<10. > \] Тогда \[ > 0\le x-2<8. > \] Извлекаем корень: \[ > 0\le \sqrt{x-2}<\sqrt8=2\sqrt2. > \] Значит, \[ > 0\le y<2\sqrt2. > \] По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=0,\ M=2\sqrt2\).
94 е) \(y=\dfrac{12}{x},\quad -6<x<-1\)
Запись:
Для \(-6<x<-1\) имеем \(x<0\). При переходе к обратным числам у отрицательных чисел порядок меняется: \[ > -1<\frac1x<-\frac16. > \] Умножим на \(12\): \[ > -12<\frac{12}{x}<-2. > \] Значит, \[ > -12<y<-2. > \] По определению функция ограничена.
Вывод: ограничена, \(m=-12,\ M=-2\).
94 ж) \(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2},\quad -4\le x\le 4,\ x\ne 0\)
Запись:
Так как \(x\ne 0\) и \(|x|\le 4\), то \[ > 0<x^2\le 16. > \] Поэтому \[ > \frac1{x^2}\ge \frac1{16}, > \] то есть \[ > y\ge \frac1{16}. > \] Значит, функция ограничена снизу.
Покажем, что сверху она не ограничена. Пусть \(M>0\). Возьмём \[ > x=\frac1{\sqrt{M+1}}. > \] Тогда \(0<x\le 1\le 4\), \(x\ne 0\), и \[ > y=\frac1{x^2}=M+1>M. > \] Значит, сверху функция не ограничена.
Вывод: ограничена снизу, сверху не ограничена.
94 з) \(y=|x+3|\)
Запись:
Для любого \(x\) имеем \[ > |x+3|\ge 0. > \] Значит, функция ограничена снизу.
Покажем, что сверху она не ограничена. Пусть \(M>0\). Возьмём \(x=M\). Тогда \[ > y=|M+3|=M+3>M. > \] Значит, сверху функция не ограничена.
Вывод: ограничена снизу, сверху не ограничена.
Коротко, что писать в ответе
- 93 а) ограничена: \(7\le f(x)\le 9\);
- 93 б) ограничена: \(-8<f(x)\le 27\);
- 93 в) ограничена: \(0\le f(x)\le 16\);
- 93 г) ограничена: \(1<f(x)\le 6\);
- 94 а), б) не ограничены ни сверху, ни снизу;
- 94 в), д), е) ограничены;
- 94 г), ж), з) ограничены снизу, но сверху не ограничены.
