Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(T\) — середина \(MK\), поэтому
\[
MT=TK.
\]
Что вставить в пропуски
Через точку \(\boxed{M}\) параллельно прямой \(\boxed{NK}\).
\(\boxed{Q}\) — точка пересечения с прямой \(TS\).\(NS=SK\) — \(\boxed{\text{по условию}}\);
\(MQ=NS\) — \(\boxed{\text{как противоположные стороны параллелограмма}}\).Так как \(MQ=\boxed{SK}\),
\(\angle MQT=\angle\boxed{TSK}\) — \(\boxed{\text{накрест лежащие при }MQ\parallel SK\text{ и секущей }ST}\),
\(\angle QMT=\angle\boxed{TKS}\) — \(\boxed{\text{накрест лежащие при }MQ\parallel SK\text{ и секущей }MK}\),
то треугольники \(MQT\) и \(TSK\) равны \(\boxed{\text{по стороне и двум прилежащим углам}}\).Следовательно, \(MT=\boxed{TK}\).
Почему это работает
- \(MQ\parallel NK\), а \(N,S,K\) лежат на одной прямой, поэтому \(MQ\parallel NS\).
- \(QS\) лежит на прямой \(ST\), а \(ST\parallel MN\), значит \(QS\parallel MN\).
- Значит, \(MNSQ\) — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому \[ MQ=NS. \]
- Дано \(NS=SK\), следовательно, \[ MQ=SK. \]
- При параллельных \(MQ\) и \(SK\) получаем равенства накрест лежащих углов: \[ \angle MQT=\angle TSK,\qquad \angle QMT=\angle TKS. \]
- Значит, треугольники \(MQT\) и \(TSK\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Соответствие вершин: \[ M\leftrightarrow K,\quad Q\leftrightarrow S,\quad T\leftrightarrow T. \] Поэтому соответствующие стороны равны: \[ MT=TK. \]
Обсуждение
2 сообщенияТам другие ответы
Да, в прошлом ответе ошибка в итоговом выводе: \(MT=TK\) — это уже дано (\(T\) — середина \(MK\)). По такому доказательству в конце должно получиться, что \(TS\parallel MN\) (и, если требуется, \(TS=\frac12 MN\)).
Правильное заполнение:
Через точку \(\boxed{M}\) проведём прямую, параллельную \(\boxed{NK}\).
Пусть \(\boxed{Q}\) — точка пересечения этой прямой с прямой \(\boxed{TS}\).Рассмотрим треугольники \(MQT\) и \(KST\): \[ MT=KT \quad (\text{так как }T\text{ — середина }MK); \] \[ \angle MTQ=\angle KTS \quad (\text{как вертикальные}); \] \[ \angle QMT=\angle SKT \] — как накрест лежащие при \(MQ\parallel NK\) и секущей \(MK\).
Значит, \[ \triangle MQT=\triangle KST \] \(\boxed{\text{по стороне и двум прилежащим углам}}\).
Из равенства треугольников: \[ MQ=SK,\qquad QT=ST. \]
Так как \(S\) — середина \(NK\), то \[ SK=SN. \] Следовательно, \[ MQ=SN. \]
Кроме того, \(MQ\parallel SN\). Значит, в четырёхугольнике \(MNSQ\) одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому \[ MNSQ \text{ — параллелограмм}. \]
В параллелограмме противоположные стороны параллельны: \[ MN\parallel QS. \] Но \(Q,S,T\) лежат на одной прямой, поэтому \[ \boxed{TS\parallel MN}. \]
Если нужно доказать ещё и длину: \[ QS=MN \quad (\text{противоположные стороны параллелограмма}), \] а так как \(QT=TS\), то \[ QS=QT+TS=2TS. \] Значит, \[ \boxed{TS=\frac12 MN}. \]
То есть в конце ответ должен быть про параллельность \(TS\) и \(MN\), а не \(MT=TK\).
