Вычисли

Краткий ответ: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

Считаем, что в знаменателе последний множитель — \(3^0\).

Ключевые шаги

1. Раскладываем основания на простые множители: \[ 12=2^2\cdot 3,\qquad 18=2\cdot 3^2,\qquad 4=2^2,\qquad 9=3^2. \] Также \(3^0=1\).

2. Подставляем и используем свойства степеней: \[ \frac{12^{-3}\cdot 18^2}{4^{-2}\cdot 9\cdot 3^0} = \frac{(2^2\cdot 3)^{-3}\cdot (2\cdot 3^2)^2}{(2^2)^{-2}\cdot 3^2\cdot 1}. \]

3. Раскрываем степени: \[ (2^2\cdot3)^{-3}=2^{-6}\cdot3^{-3}, \] \[ (2\cdot3^2)^2=2^2\cdot3^4, \] \[ (2^2)^{-2}=2^{-4}. \]

4. Собираем степени с одинаковыми основаниями: \[ \frac{2^{-6}3^{-3}\cdot 2^2 3^4}{2^{-4}3^2} = \frac{2^{-4}3}{2^{-4}3^2} = \frac{1}{3}. \]

Проверка

\[ 12^{-3}\cdot18^2=\frac{324}{1728}=\frac{3}{16}, \] \[ 4^{-2}\cdot9\cdot3^0=\frac{9}{16}. \] Тогда \[ \frac{3/16}{9/16}=\frac{3}{16}\cdot\frac{16}{9}=\frac13. \]

Главный принцип: приводим степени к простым основаниям и складываем/вычитаем показатели.