Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(2\)
2. \(5\)
3. \(9\)
4. \(\frac14\)
5. \(6\)
6. \(2\)
7. \(\frac13\)
8. \(8\)
9. \(1\)
10. \(\frac94\)
11. \(49\)
12. \(\frac43\)
13. \(36\)
14. \(1\)
15. \(25\sqrt5\)

Главный принцип: степени с дробными показателями считаются по обычным свойствам степеней:

\[ a^x\cdot a^y=a^{x+y},\qquad a^x:a^y=a^{x-y},\qquad (a^x)^y=a^{xy}. \]

Если основания разные, их полезно свести к одинаковым: \(4=2^2\), \(8=2^3\), \(9=3^2\), \(16=2^4\), \(25=5^2\), \(27=3^3\), \(81=3^4\), \(125=5^3\). Также \(a^{-x}=\frac1{a^x}\).

Проверка по шагам:

1. \(2^{\frac13+\frac23}=2^1=2\)

2. \(5^{\frac74-\frac34}=5^1=5\)

3. \((3^{\frac25})^5=3^{\frac25\cdot5}=3^2=9\)

4. \(16^{-\frac12}=(2^4)^{-\frac12}=2^{-2}=\frac14\)

5. \((4\cdot9)^{\frac12}=36^{\frac12}=6\)

6. \(4^{\frac13}\cdot2^{\frac13}=(4\cdot2)^{\frac13}=8^{\frac13}=2\)

7. \(27^{\frac23}:9^{\frac32}=(3^3)^{\frac23}:(3^2)^{\frac32}=3^2:3^3=3^{-1}=\frac13\)

8. \(0{,}25^{-\frac32}=\left(\frac14\right)^{-\frac32}=4^{\frac32}=(\sqrt4)^3=2^3=8\)

9. \(125^{\frac13}\cdot25^{-\frac12}=5\cdot\frac15=1\)

10. \(\left(\frac8{27}\right)^{-\frac23}=\left(\left(\frac23\right)^3\right)^{-\frac23}=\left(\frac32\right)^2=\frac94\)

11. \(\dfrac{7^{\frac35}\cdot7^{\frac{11}5}}{7^{\frac45}}=7^{\frac35+\frac{11}5-\frac45}=7^2=49\)

12. \(\dfrac{2^{\frac53}\cdot3^{\frac13}}{2^{-\frac13}\cdot3^{\frac43}}=2^{\frac53+\frac13}\cdot3^{\frac13-\frac43}=2^2\cdot3^{-1}=\frac43\)

13. \(\sqrt6\cdot6^{\frac32}=6^{\frac12}\cdot6^{\frac32}=6^2=36\)

14. \(\dfrac{81^{\frac34}\cdot3^{-2}}{9^{\frac12}}=\dfrac{3^3\cdot3^{-2}}{3}=3^{3-2-1}=3^0=1\)

15. \((\sqrt5)^2\cdot25^{\frac34}=5\cdot(5^2)^{\frac34}=5^1\cdot5^{\frac32}=5^{\frac52}=25\sqrt5\)