Чему равно перемещение свободного падающего тела за 5 с?
Краткий ответ:
При \(g \approx 10\ \text{м/с}^2\) перемещение тела за \(5\) с равно
\[
s \approx 125\ \text{м}
\]
вертикально вниз.
Почему так:
При свободном падении без начальной скорости: \[ s=\frac{gt^2}{2} \]
Подставляем \(g\approx10\ \text{м/с}^2\), \(t=5\ \text{с}\): \[ s=\frac{10\cdot 5^2}{2} =\frac{10\cdot25}{2} =125\ \text{м} \]
Проверка:
Через \(5\) с скорость тела была бы
\[
v=gt=10\cdot5=50\ \text{м/с}.
\]
Средняя скорость за это время:
\[
\frac{0+50}{2}=25\ \text{м/с}.
\]
Тогда перемещение:
\[
25\cdot5=125\ \text{м}.
\]
Если брать \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\), получится: \[ s=\frac{9{,}8\cdot25}{2}=122{,}5\ \text{м}. \]
Ответ: примерно 125 м при \(g\approx10\ \text{м/с}^2\) (или 122,5 м при \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\)), направление — вниз.
Обсуждение
6 сообщенийМатериальная точка это
Материальная точка это
Материальная точка — это модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, но масса которого учитывается.
Иными словами, это «тело-точка»: у него есть масса, но нет размеров и формы.
Например:
- Землю можно считать материальной точкой при расчёте её движения вокруг Солнца;
- автомобиль — при описании его пути на большом расстоянии;
- падающее тело — если сопротивление воздуха и вращение не важны.
Но если важно, как тело вращается, где именно приложена сила или как оно деформируется, считать его материальной точкой уже нельзя.
В задаче о свободном падении тело обычно рассматривают как материальную точку: важны его масса, скорость и перемещение, а размеры несущественны.
Материальная точка — это модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, но массу которого учитывают.
Иными словами, это тело, рассматриваемое как точка, обладающая массой.
Пример:
Землю при расчёте её движения вокруг Солнца можно считать материальной точкой, потому что расстояние до Солнца огромно по сравнению с размерами Земли. Но при расчёте движения по поверхности Земли её уже нельзя считать точкой.
Одно и то же тело в разных задачах может считаться или не считаться материальной точкой — это зависит от условия задачи.
Постройте график функции y=x²-6x+5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=0,5; б) значение x, при которых y=-1; в) нули функции; промежутки, в которых y>0 и в которых y<0; г) промежуток, на котором функция возрастает.
Преобразуем функцию:
\[ y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4 \]
Значит, график — парабола, ветви вверх, вершина в точке \((3;-4)\), ось симметрии \(x=3\).
Для построения возьмём точки:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \end{array} \]
Парабола проходит через точки \((1;0)\) и \((5;0)\), а её вершина — \((3;-4)\).
а) Значение \(y\) при \(x=0{,}5\)
\[ y=(0{,}5)^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25 \]
Ответ: \(y=2{,}25\). По графику это примерно \(2{,}3\).
б) Значения \(x\), при которых \(y=-1\)
Решаем:
\[ x^2-6x+5=-1 \]
\[ x^2-6x+6=0 \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{12}}{2} =3\pm\sqrt3 \]
То есть:
\[ x_1=3-\sqrt3\approx1{,}27,\qquad x_2=3+\sqrt3\approx4{,}73 \]
Ответ: \(x=3-\sqrt3\) и \(x=3+\sqrt3\), примерно \(1{,}27\) и \(4{,}73\).
в) Нули функции и знаки \(y\)
Нули функции — там, где \(y=0\):
\[ x^2-6x+5=0 \]
\[ (x-1)(x-5)=0 \]
\[ x=1,\quad x=5 \]
Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\).
По графику:
\(y>0\) при \(x<1\) или \(x>5\), то есть
\[ (-\infty;1)\cup(5;+\infty) \]\(y<0\) при \(1<x<5\), то есть
\[ (1;5) \]
При \(x=1\) и \(x=5\) имеем \(y=0\), поэтому эти точки не входят в промежутки знакопостоянства.
г) Промежуток возрастания
Вершина параболы находится при \(x=3\), ветви идут вверх. Значит, функция возрастает правее вершины:
\[ [3;+\infty) \]
Иногда записывают как \((3;+\infty)\).
Итог
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{a) } y(0{,}5)=2{,}25;\\ &\text{б) } x=3\pm\sqrt3\approx1{,}27;\ 4{,}73;\\ &\text{в) нули: }x=1,\ x=5;\\ &\quad y>0:\ (-\infty;1)\cup(5;+\infty);\\ &\quad y<0:\ (1;5);\\ &\text{г) возрастает на }[3;+\infty). \end{aligned} } \]
