Реши задание на изображении
Краткий ответ (что вписать в пропуски)
- Построим прямую через точку M, параллельную прямой NK; Q — точка пересечения с прямой \(TS\).
- \(NS = SK\) (по условию), \(MQ = NS\) — по свойству параллелограмма MQSN (противоположные стороны равны) ⇒ \(MQ = SK\).
- \(MQ = \mathbf{SK}\), \(\angle MQT = \angle \mathbf{TSK}\); кроме того, \(\angle MTQ = \angle KTS\) (вертикальные) ⇒ \(\triangle MQT = \triangle TSK\) по стороне и двум прилежащим углам (второй признак).
- Следовательно, \(MT = \mathbf{TK}\). Ч. т. д.
Почему это работает
Идея: достроить чертёж до параллелограмма, чтобы «перенести» известный отрезок \(NS\) на отрезок \(MQ\), а потом получить равенство треугольников.
Шаг 1. Почему \(MQSN\) — параллелограмм:
- \(MQ \parallel SN\), так как \(MQ \parallel NK\) по построению, а \(SN\) лежит на \(NK\);
- \(QS \parallel MN\), так как \(QS\) — часть прямой \(ST\), а \(ST \parallel MN\) по условию.
Две пары параллельных сторон ⇒ \(MQSN\) — параллелограмм, значит его противоположные стороны равны: \(MQ = NS\). А так как \(NS = SK\), получаем \(MQ = SK\).
Шаг 2. Почему равны углы:
- \(\angle MQT = \angle TSK\) — накрест лежащие при параллельных \(MQ\) и \(NK\) и секущей \(QS\);
- \(\angle MTQ = \angle KTS\) — вертикальные (прямые \(MK\) и \(QS\) пересекаются в точке \(T\)).
Два угла равны ⇒ третьи тоже равны: \(\angle TMQ = \angle TKS\), поэтому сторона \(MQ\) и сторона \(SK\) оказываются между равными углами — работает второй признак.
Шаг 3. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: \(MT\) лежит против \(\angle MQT\), а \(TK\) — против \(\angle TSK\). Значит \(MT = TK\).
Проверка результата
Тот же факт легко подтвердить через среднюю линию: \(S\) — середина \(NK\) (\(NS = SK\)), и \(ST \parallel MN\). Значит, \(ST\) — средняя линия \(\triangle MNK\), и она приходит в середину стороны \(MK\), то есть \(T\) — середина \(MK\). Отсюда сразу \(MT = TK\) — совпадает с доказанным. ✅
Обсуждение
4 сообщенияВ третьем что после TsK как накрест лежащие углы а дальше
Дальше по порядку пишешь так:
1) \(\angle MQT=\angle TSK\) — как накрест лежащие при \(MQ\parallel NK\) и секущей \(QS\);
2) \(\angle MTQ=\angle KTS\) — как вертикальные (прямые \(MK\) и \(QS\) пересекаются в точке \(T\));
3) значит, и третьи углы равны: \(\angle TMQ=\angle TKS\) (сумма углов треугольника \(180^\circ\));
4) следовательно, \(\triangle MQT=\triangle TSK\) — по стороне и двум прилежащим углам (второй признак): сторона \(MQ=SK\), а углы при ней равны;
5) в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому \(MT=TK\). Ч. т. д.
То есть после «…как накрест лежащие углы» в бланке идёт: «\(\angle MTQ=\angle KTS\) как вертикальные ⇒ треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам ⇒ \(MT=TK\)».
По какому признаку
По второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Для \(\triangle MQT\) и \(\triangle TSK\):
- сторона \(MQ=SK\);
- прилежащие к ней углы: \[ \angle MQT=\angle TSK \] (накрест лежащие), \[ \angle TMQ=\angle TKS \] (следует из равенства двух других углов, так как сумма углов треугольника \(180^\circ\)).
Значит, \[ \triangle MQT=\triangle TSK \] по стороне и двум прилежащим углам — второму признаку.
