Реши задание на изображении
Решаю «Задание 14».
Кратко:
- \(F \approx 2{,}0\cdot10^{20}\) Н.
- \(g_{\text{Л}} \approx 1{,}7\) м/с².
- \(r \approx 3{,}4\cdot10^8\) м от центра Земли — примерно \(3{,}42\cdot10^5\) км; точка находится между Землёй и Луной, ближе к Луне.
- \(v_1 \approx 3{,}6\) км/с.
Ключевые шаги
1. Сила всемирного тяготения: \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \] \[ F=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot \frac{6\cdot10^{24}\cdot7{,}4\cdot10^{22}} {(3{,}8\cdot10^8)^2} \approx2{,}0\cdot10^{20}\ \text{Н}. \]
2. Ускорение свободного падения у поверхности Луны: \[ g_{\text{Л}}=\frac{GM_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}^2} \] Массу Луны берём из №1: \[ g_{\text{Л}}= \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}4\cdot10^{22}} {(1{,}7\cdot10^6)^2} \approx1{,}7\ \text{м/с}^2. \] Это примерно в 6 раз меньше земного \(9{,}8\) м/с².
3. Пусть \(x\) — расстояние от центра Земли, тогда до Луны \(R-x\). Приравниваем силы: \[ \frac{GM_{\text{З}}m}{x^2} = \frac{GM_{\text{Л}}m}{(R-x)^2}. \] Масса тела \(m\) сокращается — ответ от неё не зависит: \[ \frac{R-x}{x}=\sqrt{\frac{M_{\text{Л}}}{M_{\text{З}}}}. \] Отсюда: \[ x=\frac{R}{1+\sqrt{M_{\text{Л}}/M_{\text{З}}}} = \frac{3{,}8\cdot10^8} {1+\sqrt{\dfrac{7{,}4\cdot10^{22}}{6\cdot10^{24}}}} \approx3{,}4\cdot10^8\ \text{м}. \] Точка ближе к Луне, потому что Луна легче Земли.
4. Первая космическая скорость: \[ \frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2} \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{R}}. \] Сравниваем с Землёй: \[ v_{\text{Марса}} = v_{\text{Земли}} \sqrt{\frac{M_{\text{Марса}}/M_{\text{Земли}}} {R_{\text{Марса}}/R_{\text{Земли}}}} \] \[ v_{\text{Марса}} = 7{,}9\sqrt{\frac{0{,}11}{0{,}53}} \approx3{,}6\ \text{км/с}. \]
Что запомнить: почти все задачи решаются формулой \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\); для \(g\) её применяют к телу на поверхности планеты, а для спутника приравнивают силу тяготения к центростремительной силе.
