Реши задание на изображении

Краткий ответ

Как это получается

№ 2.
\(\sin100^\circ>0\), а \(\cos110^\circ<0\), значит их произведение отрицательно:
\[ \sin100^\circ\cos110^\circ<0. \] Остальные варианты неверны: \(\cos10^\circ>0\), а \(\cos90^\circ=0\).

№ 3. Теорема косинусов
\[ c^2=3^2+8^2-2\cdot3\cdot8\cos120^\circ =9+64+24=97. \] \[ c=\sqrt{97}. \]

№ 4.
Против большей стороны \(9\) лежит больший угол. Проверим его по теореме косинусов: \[ \cos\gamma=\frac{4^2+7^2-9^2}{2\cdot4\cdot7} =\frac{-16}{56}=-\frac27<0. \] Косинус отрицателен, значит угол тупой.

№ 5.
Пусть стороны, между которыми угол \(60^\circ\), равны \(x\) и \(x+10\). Тогда \[ 14^2=x^2+(x+10)^2-2x(x+10)\cos60^\circ. \] Так как \(\cos60^\circ=\frac12\): \[ 196=x^2+10x+100, \] \[ x^2+10x-96=0. \] Положительный корень: \(x=6\).
Стороны: \(6\), \(16\), \(14\). Наибольшая — \(16\) см.

№ 6.
Для параллелограмма: \[ d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2). \] Пусть стороны \(2k\) и \(3k\): \[ 17^2+19^2=2\bigl((2k)^2+(3k)^2\bigr), \] \[ 650=26k^2,\qquad k^2=25,\qquad k=5. \] Стороны \(10\) и \(15\), периметр: \[ P=2(10+15)=50. \]

№ 7. Теорема синусов
\[ \frac{BC}{\sin45^\circ}=\frac{AB}{\sin30^\circ}. \] \[ BC=8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =8\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2}=8\sqrt2. \]

№ 8.
Сторона \(AC\) лежит против угла \(B=30^\circ\), сторона \(BC\) — против угла \(A=120^\circ\). Поэтому \[ \frac{AC}{BC}=\frac{\sin30^\circ}{\sin120^\circ} =\frac{1/2}{\sqrt3/2} =\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}. \]

№ 9.
По теореме синусов диаметр описанной окружности: \[ D=2R=\frac{AB}{\sin C}. \] \[ D=\frac{4\sqrt2}{\sin135^\circ} =\frac{4\sqrt2}{\sqrt2/2}=8. \]

№ 10.
Площадь треугольника: \[ S=\frac12 ab\sin\gamma. \] При \(a=8\), \(b=12\): \[ S=\frac12\cdot8\cdot12\sin\gamma=48\sin\gamma\le48. \] Максимум достигается при \(\sin\gamma=1\), то есть при угле \(90^\circ\). Ответ: \(48\) см².

№ 11.
Полупериметр: \[ s=\frac{25+33+52}{2}=55. \] По формуле Герона: \[ S=\sqrt{55(55-25)(55-33)(55-52)} =\sqrt{55\cdot30\cdot22\cdot3}=330. \] Радиус вписанной окружности: \[ r=\frac{S}{s}=\frac{330}{55}=6. \] Радиус описанной окружности: \[ R=\frac{abc}{4S} =\frac{25\cdot33\cdot52}{4\cdot330}=32{,}5. \] Сумма: \[ R+r=32{,}5+6=38{,}5\text{ см}. \]