Реши задание на изображении
Кратко:
- \(x=\dfrac17\)
- \(x=2\)
- \(x=27\)
- \(x=1\)
- \(x=3\)
- \(x=2\)
Принцип решения.
По определению логарифма:
\[
\log_a b=c \iff a^c=b,
\]
где \(a>0,\ a\ne1,\ b>0\).
То есть логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание.
\(\log_7 x=-1\Rightarrow x=7^{-1}=\frac17\).
\(\log_4 x=\frac12\Rightarrow x=4^{1/2}=\sqrt4=2\).
\(\log_{\sqrt3}x=6\Rightarrow x=(\sqrt3)^6=3^3=27\).
\(\log_2 x=0\Rightarrow x=2^0=1\).
\(\log_x 9=2\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3\).
Но основание логарифма должно быть положительным и не равным \(1\), поэтому \(x=3\).\(\log_x0{,}25=-2\Rightarrow x^{-2}=\frac14\), то есть \(\frac1{x^2}=\frac14\).
Отсюда \(x^2=4\), \(x=\pm2\). Основание \(x>0\), поэтому \(x=2\).
Проверка, например:
\(\log_3 9=2\), так как \(3^2=9\);
\(\log_2 0{,}25=-2\), так как \(2^{-2}=\frac14=0{,}25\).
Обсуждение
2 сообщенияРешите уравнение
По определению логарифма \(\log_a b=c \iff a^c=b\), причём \(a>0,\ a\ne1\).
7)
\[
\log_x 2=2 \quad\Rightarrow\quad x^2=2.
\]
\[
x=\sqrt2
\]
(отрицательный корень не подходит, так как основание логарифма должно быть положительным).
Ответ: \(x=\sqrt2\).
8)
\[
\log_x 5=\frac13 \quad\Rightarrow\quad x^{\frac13}=5.
\]
Возведём обе части в куб:
\[
x=5^3=125.
\]
Ответ: \(x=125\).
Проверка:
\(\log_{\sqrt2}2=2\), так как \((\sqrt2)^2=2\).
\(\log_{125}5=\frac13\), так как \(125^{1/3}=5\).
