Реши задание на изображении

Решаю вариант 4.

Краткие ответы

1. \(\operatorname{НОК}(14,35)=70\);
2. \(\operatorname{НОК}(10,30)=30\);
3. \(\operatorname{НОК}(8,21)=168\);
4. \(\operatorname{НОК}(36,54)=108\);
5. \(\operatorname{НОК}(630,560)=5040\);
6. \(\operatorname{НОК}(12,16,18)=144\).

2. \[ \gcd(a,b)=\operatorname{НОД}(a,b)=120,\qquad \operatorname{НОК}(a,b)=3600. \]

1. \(75\);
2. \(96\).

4. Через 60 км.

Как это получается

Главное правило НОК: раскладываем числа на простые множители и берём каждый множитель в наибольшей степени.
Для НОД, наоборот, берём наименьшие степени.

1. НОК

1. \[ 14=2\cdot7,\quad 35=5\cdot7 \] \[ \operatorname{НОК}=2\cdot5\cdot7=70 \]

2. \[ 10=2\cdot5,\quad 30=2\cdot3\cdot5 \] \[ \operatorname{НОК}=30 \]

3. \[ 8=2^3,\quad 21=3\cdot7 \] \[ \operatorname{НОК}=2^3\cdot3\cdot7=168 \]

4. \[ 36=2^2\cdot3^2,\quad 54=2\cdot3^3 \] \[ \operatorname{НОК}=2^2\cdot3^3=4\cdot27=108 \]

5. \[ 630=2\cdot3^2\cdot5\cdot7,\quad 560=2^4\cdot5\cdot7 \] \[ \operatorname{НОК}=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7=5040 \]

6. \[ 12=2^2\cdot3,\quad16=2^4,\quad18=2\cdot3^2 \] \[ \operatorname{НОК}=2^4\cdot3^2=16\cdot9=144 \]

2. НОД и НОК по степеням

Дано: \[ a=2^3\cdot3^2\cdot5^2,\qquad b=2^4\cdot3\cdot5 \]

Для НОД берём меньшие степени: \[ \operatorname{НОД}=2^3\cdot3^1\cdot5^1=8\cdot3\cdot5=120 \]

Для НОК — большие степени: \[ \operatorname{НОК}=2^4\cdot3^2\cdot5^2 =16\cdot9\cdot25=3600 \]

Проверка: \[ 120\cdot3600=432000 \] \[ a\cdot b=(2^3\cdot3^2\cdot5^2)(2^4\cdot3\cdot5) =432000 \] Всё сходится: \(\operatorname{НОД}\cdot\operatorname{НОК}=a\cdot b\).

3. НОК знаменателей дробей

Числители здесь не важны — нужны только знаменатели.

1. \[ 25=5^2,\qquad15=3\cdot5 \] \[ \operatorname{НОК}(25,15)=3\cdot5^2=75 \]

2. \[ 32=2^5,\qquad48=2^4\cdot3 \] \[ \operatorname{НОК}(32,48)=2^5\cdot3=96 \]

4. Совпадение остановок

Остановки — это общие кратные чисел \(20\) и \(30\).

\[ 20=2^2\cdot5,\qquad30=2\cdot3\cdot5 \] \[ \operatorname{НОК}(20,30)=2^2\cdot3\cdot5=60 \]

Проверка:

• первая группа: \(20,40,\mathbf{60},\ldots\)
• вторая группа: \(30,\mathbf{60},\ldots\)

Впервые после старта остановки совпадут через 60 км.