Краткий ответ: \(x=10\).
Как решать
Дано:
\[ \frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}=\frac{50}{x^2+x-6}-1 \]
1. Найдём ОДЗ и разложим знаменатель.
\[ x-2\ne0,\quad x+3\ne0 \]
Значит,
\[ x\ne2,\quad x\ne-3. \]
При этом:
\[ x^2+x-6=(x-2)(x+3). \]
Поэтому общий знаменатель — \((x-2)(x+3)\).
2. Умножим обе части на \((x-2)(x+3)\).
Так как \(x\ne2\) и \(x\ne-3\), это можно делать:
\[ 2(x+3)-10(x-2)=50-(x-2)(x+3). \]
3. Раскроем скобки.
Слева:
\[ 2x+6-10x+20=-8x+26. \]
Справа:
\[ 50-(x^2+x-6)=56-x^2-x. \]
Получаем:
\[ -8x+26=-x^2-x+56. \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ x^2-7x-30=0. \]
4. Решим квадратное уравнение.
\[ D=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49+120=169, \]
\[ \sqrt{D}=13. \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm13}{2}. \]
Отсюда:
\[ x_1=10,\qquad x_2=-3. \]
5. Проверим ОДЗ.
Корень \(x=-3\) не подходит, потому что при нём знаменатель \(x+3\) равен нулю.
Корень \(x=10\) подходит.
Проверка:
\[ \frac{2}{8}-\frac{10}{13} =\frac14-\frac{10}{13} =-\frac{27}{52}, \]
\[ \frac{50}{100+10-6}-1 =\frac{50}{104}-1 =-\frac{27}{52}. \]
Обе части равны.
\[ \boxed{x=10} \]
Главный принцип: сначала находим ОДЗ и раскладываем знаменатели на множители; после умножения на общий знаменатель обязательно отбрасываем корни, при которых знаменатель обращается в ноль.
