62 задание

№ 62. Кратко

Если из точки \(C\) проведены касательная \(CD\) (\(D\) — точка касания) и секущая \(C-A-B\), то

\[ CA\cdot CB=CD^2. \]

Доказательство

1. Соединим \(D\) с \(A\) и \(B\). Рассмотрим треугольники \(CDA\) и \(CBD\).
2. Угол при \(C\) у них общий: \[ \angle ACD=\angle DCB, \] потому что \(CA\) и \(CB\) лежат на одной прямой.
3. \(\angle CDA\) — угол между касательной \(CD\) и хордой \(DA\). По свойству угла между касательной и хордой он равен вписанному углу, опирающемуся на \(DA\): \[ \angle CDA=\angle DBA. \] А так как \(A,B,C\) лежат на одной прямой, то \(\angle DBA=\angle CBD\). Значит, \[ \angle CDA=\angle CBD. \]
4. Поэтому треугольники подобны по двум углам: \[ \triangle CDA\sim\triangle CBD. \]
5. Из подобия: \[ \frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CB}. \] Отсюда \[ CA\cdot CB=CD^2. \]

Что важно запомнить: оба отрезка берутся от внешней точки \(C\): \(CA\) — до ближней точки пересечения, \(CB\) — до дальней. Отрезок \(AB\) между точками пересечения в формулу не входит. Иными словами, \(CD\) — среднее геометрическое \(CA\) и \(CB\).

Проверка на числах: если \(CA=4\), \(CB=9\), то \(CD=\sqrt{4\cdot 9}=6\).