Как это решать

Коротко: графики строятся не «с нуля», а из известного шаблона сдвигами и растяжениями.

Общее правило: если \(y=k\cdot f(x-a)+b\), то:

• \(x-a\) — сдвиг по \(Ox\): \(x-5\) вправо на 5, \(x+4\) влево на 4, \(x+7\) влево на 7;
• \(k\) — растяжение по вертикали в \(|k|\) раз; если \(k<0\), график отражается относительно \(Ox\);
• \(+b\) — сдвиг вверх на \(b\), \(-b\) — вниз;
• точка шаблона \((x_0;y_0)\) переходит в \((x_0+a;\;k y_0+b)\).

1) \(y=3\sqrt{x-5}+4\)

Шаблон: \(y=\sqrt{x}\).

Действия:

1. сдвиг вправо на 5: \(y=\sqrt{x-5}\);
2. растяжение по вертикали в 3 раза: \(y=3\sqrt{x-5}\);
3. сдвиг вверх на 4.

Ключевые точки:

\[ (0;0)\to(5;4),\qquad (1;1)\to(6;7),\qquad (4;2)\to(9;10). \]

График начинается в точке \((5;4)\), идёт вправо и вверх. Левее \(x=5\) его нет.

Область определения: \(x\ge 5\), область значений: \(y\ge 4\).

2) \(y=\dfrac{-2}{x+4}-3\)

Шаблон: \(y=\dfrac1x\).

Действия:

1. \(x+4\) — сдвиг влево на 4;
2. коэффициент \(-2\) — отражение относительно \(Ox\) и растяжение в 2 раза;
3. \(-3\) — сдвиг вниз на 3.

Асимптоты:

\[ x=-4,\qquad y=-3. \]

Ключевые точки:

\[ (1;1)\to(-3;-5),\qquad (-1;-1)\to(-5;-1). \]

Ветви гиперболы находятся в левой верхней и правой нижней частях относительно точки пересечения асимптот \((-4;-3)\). Через сами асимптоты график не проходит.

3) \(y=-2(x+7)^2+4\)

Шаблон: \(y=x^2\).

Действия:

1. \(x+7\) — сдвиг влево на 7;
2. коэффициент \(-2\) — отражение вниз и растяжение в 2 раза;
3. \(+4\) — сдвиг вверх на 4.

Вершина:

\[ (0;0)\to(-7;4). \]

Ось симметрии: \(x=-7\). Ветви направлены вниз.

Ключевые точки:

\[ (1;1)\to(-6;2),\qquad (-1;1)\to(-8;2), \]

\[ (2;4)\to(-5;-4),\qquad (-2;4)\to(-9;-4). \]

Если нужны точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ x=-7\pm\sqrt2. \]

Как проверять себя

Подставь одну точку в формулу:

• для 1-й функции \(x=6\): \(y=3\sqrt1+4=7\);
• для 2-й функции \(x=-3\): \(y=\frac{-2}{1}-3=-5\);
• для 3-й функции \(x=-6\): \(y=-2\cdot1^2+4=2\).

Если точка на графике совпала с формулой, преобразования выполнены верно.

Частая ошибка: знак внутри скобки. \(x+4\) означает сдвиг влево, а не вправо; \(x-5\) — вправо.