Реши задание на изображении

Дано: \[ v_{\text{мот}}=40\ \text{км/ч},\qquad v_{\text{авт}}=80\ \text{км/ч} \] \[ \Delta t=30\ \text{мин}=0{,}5\ \text{ч} \] — на столько раньше выехал мотоциклист.

Найти: \[ t_{\text{авт}}\ —\ ?\quad \text{(время до встречи после выезда автомобиля)} \]

Решение:

1. За 30 минут мотоциклист успел проехать: \[ S_0=v_{\text{мот}}\cdot \Delta t=40\cdot0{,}5=20\ \text{км}. \]

2. Скорость сближения автомобиля и мотоциклиста: \[ v_{\text{сбл}}=v_{\text{авт}}-v_{\text{мот}}=80-40=40\ \text{км/ч}. \]

3. Время, за которое автомобиль догонит мотоциклиста: \[ t_{\text{авт}}=\frac{S_0}{v_{\text{сбл}}} =\frac{20}{40}=0{,}5\ \text{ч}=30\ \text{мин}. \]

4. Место встречи от начала движения: \[ S=v_{\text{авт}}\cdot t_{\text{авт}}=80\cdot0{,}5=40\ \text{км}. \]

Ответ: автомобиль догонит мотоциклиста через 30 минут после своего выезда, или через 1 час после выезда мотоциклиста, на расстоянии 40 км от начала движения.

Основная формула для задачи «догоняет»:

\[ t=\frac{v_{\text{мот}}\cdot \Delta t}{v_{\text{авт}}-v_{\text{мот}}} \]

где:

• \(v_{\text{мот}}=40\) км/ч — скорость того, кто выехал раньше;
• \(v_{\text{авт}}=80\) км/ч — скорость того, кто догоняет;
• \(\Delta t=0{,}5\) ч — на сколько раньше выехал мотоциклист;
• \(t\) — время движения автомобиля до встречи.

Подставляем:

\[ t=\frac{40\cdot 0{,}5}{80-40} =\frac{20}{40}=0{,}5\ \text{ч}=30\ \text{мин}. \]

Можно решать и через уравнение расстояний:

\[ v_{\text{мот}}(t+\Delta t)=v_{\text{авт}}t \]

то есть

\[ 40(t+0{,}5)=80t, \]

откуда \(t=0{,}5\) ч.

Ответ: через 30 минут после выезда автомобиля.

Удобнее всего решать формулой:

\[ \boxed{t=\frac{v_{\text{мот}}\cdot \Delta t}{v_{\text{авт}}-v_{\text{мот}}}} \]

где:

• \(v_{\text{мот}}=40\) км/ч — скорость мотоциклиста;
• \(v_{\text{авт}}=80\) км/ч — скорость автомобиля;
• \(\Delta t=30\) мин \(=0{,}5\) ч — на столько раньше выехал мотоциклист;
• \(t\) — время автомобиля до встречи.

Подставляем:

\[ t=\frac{40\cdot0{,}5}{80-40} =\frac{20}{40} =0{,}5\ \text{ч}=30\ \text{мин}. \]

Ответ: автомобиль догонит мотоциклиста через 30 минут после своего выезда.

Можно записать и через уравнение:

\[ 40(t+0{,}5)=80t \]

Это то же самое решение.