Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(\dfrac{2m^3}{5nc^5}\)
- \(\dfrac{4}{x^3y^3}\)
- \(\dfrac{40a^5}{m-n}\)
- \(\dfrac{9}{x+5}\)
2.1) \(\dfrac{7(c-2)}{c}\)
2.2) \(4\)
- Тождество верно.
Как решать
Главные приёмы:
- при умножении дробей сокращаем множители;
- при делении заменяем деление умножением на обратную дробь;
- перед сокращением раскладываем числители и знаменатели на множители.
№ 1
1)
\[
\frac{14m^4c}{n^6}\cdot\frac{n^5}{35mc^6}
=\frac{14}{35}\cdot\frac{m^4}{m}\cdot\frac{c}{c^6}\cdot\frac{n^5}{n^6}
=\frac25\cdot m^3\cdot\frac1{c^5}\cdot\frac1n
=\frac{2m^3}{5nc^5}.
\]
2)
\[
\frac{36x^3}{y^2}:(9x^6y)
=\frac{36x^3}{y^2}\cdot\frac1{9x^6y}
=\frac{4}{x^3y^3}.
\]
3)
\[
\frac{8m+8n}{a^5}\cdot\frac{5a^{10}}{m^2-n^2}
=\frac{8(m+n)}{a^5}\cdot\frac{5a^{10}}{(m-n)(m+n)}.
\]
Сокращаем \(m+n\) и \(a^5\):
\[
=\frac{40a^5}{m-n}.
\]
4)
\[
\frac{3x-15}{x+4}:\frac{x^2-25}{3x+12}
=\frac{3(x-5)}{x+4}\cdot\frac{3(x+4)}{(x-5)(x+5)}
=\frac{9}{x+5}.
\]
№ 2
1) \[ \frac{7c}{c+2}-\frac{c-8}{3c+6}\cdot\frac{84}{c^2-8c}. \] Сначала умножение: \[ \frac{c-8}{3(c+2)}\cdot\frac{84}{c(c-8)} =\frac{28}{c(c+2)}. \] Тогда \[ \frac{7c}{c+2}-\frac{28}{c(c+2)} =\frac{7c^2-28}{c(c+2)} =\frac{7(c^2-4)}{c(c+2)} =\frac{7(c-2)}{c}. \]
2) \[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{2a}{4-a^2}. \] В скобках: \[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)} =\frac{-8a}{(a+2)(a-2)}. \] При делении переворачиваем дробь: \[ \frac{-8a}{(a+2)(a-2)}\cdot\frac{4-a^2}{2a}. \] Так как \(4-a^2=-(a-2)(a+2)\), \[ \frac{-8a}{(a+2)(a-2)}\cdot\frac{-(a-2)(a+2)}{2a}=4. \]
№ 3. Доказательство тождества
\[ \left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y} =\frac{y-3}{y+3}. \]
Разложим знаменатели: \[ y^2+6y+9=(y+3)^2, \] \[ y^2+3y=y(y+3), \] \[ y^3-9y=y(y-3)(y+3). \]
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{2y+1}{(y+3)^2}-\frac{y-2}{y(y+3)} = \frac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}. \] Упростим числитель: \[ y(2y+1)-(y-2)(y+3) =2y^2+y-(y^2+y-6) =y^2+6. \] Значит, \[ \frac{y^2+6}{y(y+3)^2}:\frac{y^2+6}{y(y-3)(y+3)}. \] Заменяем деление умножением: \[ \frac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\frac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6} =\frac{y-3}{y+3}. \] Тождество доказано.
Область допустимых значений: \(y\neq 0,\ y\neq -3,\ y\neq 3\). Везде в остальных заданиях также подразумеваются значения переменных, при которых знаменатели не равны нулю.
