решить номер 219
Ответ: боковое ребро равно 13 см.
Как понять решение
Пусть основание — прямоугольник со сторонами \(12\) см и \(5\) см, а боковое ребро (высота) равно \(h\).
Диагональ основания: \[ d_{\text{осн}}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{ см}. \]
Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и её проекцией на основание. Проекция — диагональ основания.
Получаем прямоугольный треугольник, в котором:
- один катет — высота \(h\);
- второй катет — диагональ основания \(13\) см;
- угол между диагональю параллелепипеда и основанием равен \(45^\circ\).
Значит, \[ \operatorname{tg}45^\circ=\frac{h}{13}. \]
Так как \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), то \[ \frac{h}{13}=1 \quad\Rightarrow\quad h=13\text{ см}. \]
Проверка: диагональ параллелепипеда равна \[ \sqrt{12^2+5^2+13^2}=13\sqrt2, \] и \(\sin45^\circ=\frac{13}{13\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}\). Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияс дано
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед.
\(AB=12\) см, \(AD=5\) см.
Угол между диагональю \(AC_1\) и плоскостью основания \(ABCD\) равен \(45^\circ\).
Найти:
боковое ребро \(CC_1\).
Решение:
Основание — прямоугольник, поэтому диагональ основания: \[ AC=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{12^2+5^2} =\sqrt{144+25} =\sqrt{169}=13\text{ см}. \]
Ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания, значит, \(CC_1\perp AC\).
В прямоугольном треугольнике \(ACC_1\): \[ \angle C_1AC=45^\circ. \]Тогда: \[ \operatorname{tg}45^\circ=\frac{CC_1}{AC}. \]
Так как \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), получаем: \[ 1=\frac{CC_1}{13} \quad\Rightarrow\quad CC_1=13\text{ см}. \]
Ответ: \(13\) см.
