Реши
Вот решения всех шести пунктов с карточки.
Краткие ответы
- \(72^\circ\)
- \(110^\circ\) — угол \(\angle AOB\); смежный с ним \(70^\circ\)
- \(80^\circ\) и \(100^\circ\)
- \(BD=8\) см
- \(80^\circ\) и \(100^\circ\)
- \(1{,}5\) см
1. В ромбе \(BC=CD\), значит треугольник \(BCD\) равнобедренный.
\(\angle C=\angle A=36^\circ\). Тогда углы при основании:
\[ \angle BDC=\angle CBD=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ. \]
Ответ: \(72^\circ\).
2. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(AO=BO\).
\[ \angle OAB=\angle BAC=35^\circ, \] \[ \angle ABO=35^\circ. \]
Тогда
\[ \angle AOB=180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ. \]
При пересечении диагоналей получаются углы \(110^\circ\) и \(70^\circ\). В школьной записи обычно берут \(\angle AOB=110^\circ\); если нужен именно острый угол между прямыми диагоналями, то он равен \(70^\circ\).
3. Пусть
\[ \angle A=\alpha. \]
Тогда \(\angle B=180^\circ-\alpha\). Диагональ \(BD\) делит угол \(B\) пополам:
\[ \angle DBC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}. \]
Высота \(BF\perp CD\), а \(\angle BCD=\alpha\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(BCF\):
\[ \angle CBF=90^\circ-\alpha. \]
Значит,
\[ \angle DBF=\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)-(90^\circ-\alpha) =\frac{\alpha}{2}. \]
По условию \(\angle DBF=40^\circ\), поэтому
\[ \frac{\alpha}{2}=40^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=80^\circ. \]
Другой угол ромба:
\[ 180^\circ-80^\circ=100^\circ. \]
Ответ: \(80^\circ,100^\circ\).
4. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому
\[ CO=\frac{BD}{2}. \]
Треугольник \(COF\) прямоугольный, \(\angle COF=30^\circ\), так как \(CO\) лежит на диагонали \(AC\), а \(OF\) — на диагонали \(BD\).
\[ \sin 30^\circ=\frac{CF}{CO}, \] \[ \frac12=\frac{2}{CO}\quad\Rightarrow\quad CO=4\text{ см}. \]
Тогда
\[ BD=2CO=8\text{ см}. \]
Ответ: \(8\) см.
5. Пусть \(\angle A=\alpha\). Диагональ \(AC\) ромба делит угол \(A\) пополам, значит
\[ \angle BAC=\frac{\alpha}{2}. \]
\(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), поэтому
\[ \angle BAM=\frac{\alpha}{4}. \]
Так как \(M\) лежит на \(BC\), то
\[ \angle ABM=\angle ABC=180^\circ-\alpha. \]
В треугольнике \(ABM\):
\[ \angle AMB=180^\circ-\frac{\alpha}{4}-(180^\circ-\alpha) =\frac{3\alpha}{4}. \]
Углы \(\angle AMB\) и \(\angle AMC\) смежные:
\[ \angle AMC=180^\circ-\frac{3\alpha}{4}. \]
По условию:
\[ 180^\circ-\frac{3\alpha}{4}=120^\circ, \] \[ \frac{3\alpha}{4}=60^\circ, \] \[ \alpha=80^\circ. \]
Другой угол:
\[ 180^\circ-80^\circ=100^\circ. \]
Ответ: \(80^\circ,100^\circ\).
6. Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(A\) на \(BD\).
Дано \(BH:HD=1:3\), а \(BD=6\) см, значит
\[ BH=1{,}5\text{ см},\qquad HD=4{,}5\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(ABD\) \(AH\) — высота к гипотенузе \(BD\). По свойству высоты:
\[ AB^2=BH\cdot BD=1{,}5\cdot 6=9, \] \[ AB=3. \]
\[ AD^2=HD\cdot BD=4{,}5\cdot 6=27, \] \[ AD=3\sqrt3. \]
Значит, большая сторона прямоугольника — \(AD\) и \(BC\).
Точка \(O\) пересечения диагоналей — центр прямоугольника, поэтому расстояние от неё до большой стороны \(AD\) равно половине меньшей стороны \(AB\):
\[ \frac{AB}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5\text{ см}. \]
Ответ: \(1{,}5\) см.
