Реши задание на изображении
На фото два варианта контрольной. Ниже — ответы и ход решения для обоих.
Краткие ответы
Вариант 1
- \(\sqrt{481}\) см
- \(3\sqrt3\) см
- тупоугольный
- \(60\) см
- \(\dfrac{20\sqrt3}{3}\) см
Второй вариант
- \(2\sqrt{91}\) см
- \(5\sqrt3\) см
- остроугольный
- \(15\) см
- \(14\) см
Что нужно помнить
Теорема косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \] где \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).
Теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \] где \(R\) — радиус описанной окружности.
Тип треугольника определяем по большей стороне \(c\): \[ c^2>a^2+b^2 \Rightarrow \text{тупоугольный}, \] \[ c^2=a^2+b^2 \Rightarrow \text{прямоугольный}, \] \[ c^2<a^2+b^2 \Rightarrow \text{остроугольный}. \]
Вариант 1
1. Даны стороны \(9\sqrt2\) и \(11\), угол между ними \(135^\circ\)
\[ c^2=(9\sqrt2)^2+11^2-2\cdot 9\sqrt2\cdot 11\cdot \cos135^\circ \]
\[ \cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2} \]
\[ c^2=162+121+198=481 \]
\[ \boxed{c=\sqrt{481}\text{ см}} \]
2. \(AB=3\sqrt2\), \(\angle C=45^\circ\), \(\angle A=120^\circ\)
Сторона \(BC\) лежит против угла \(A\), сторона \(AB\) — против угла \(C\). По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{AB}{\sin45^\circ} \]
\[ BC=3\sqrt2\cdot \frac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ} =3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2} =3\sqrt3 \]
\[ \boxed{BC=3\sqrt3\text{ см}} \]
3. Стороны \(13\), \(10\), \(7\) см
Большая сторона \(13\). Проверяем:
\[ 13^2=169 \]
\[ 10^2+7^2=100+49=149 \]
Так как \(169>149\), угол против стороны \(13\) тупой.
\[ \boxed{\text{Треугольник тупоугольный}} \]
4. Одна сторона на \(8\) см больше другой, угол между ними \(120^\circ\), третья сторона \(28\) см
Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\), тогда вторая \(x+8\).
\[ 28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ \]
Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:
\[ 784=x^2+(x+8)^2+x(x+8) \]
\[ 784=3x^2+24x+64 \]
\[ 3x^2+24x-720=0 \]
\[ x^2+8x-240=0 \]
\[ x=12 \]
Значит, стороны: \(12\), \(20\) и \(28\) см.
\[ P=12+20+28=60 \]
\[ \boxed{P=60\text{ см}} \]
Проверка: \[ 12^2+20^2-2\cdot12\cdot20\cos120^\circ =144+400+240=784=28^2 \]
5. \(\angle C=60^\circ\), \(AB=20\) см
Сторона \(AB\) лежит против угла \(C\). Поэтому:
\[ 2R=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ R=\frac{AB}{2\sin C} =\frac{20}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}} =\frac{20}{\sqrt3} =\frac{20\sqrt3}{3} \]
\[ \boxed{R=\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см}} \]
Сторона \(BC=12\) см для нахождения радиуса не нужна.
Второй вариант
1. Стороны \(10\) и \(12\), угол между ними \(120^\circ\)
\[ c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ \]
\[ c^2=100+144+120=364 \]
\[ c=\sqrt{364}=2\sqrt{91} \]
\[ \boxed{c=2\sqrt{91}\text{ см}} \]
2. \(BC=5\sqrt2\), \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=60^\circ\)
Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\), сторона \(BC\) — против угла \(A\). По теореме синусов:
\[ \frac{AC}{\sin60^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ} \]
\[ AC=5\sqrt2\cdot \frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =5\sqrt2\cdot \frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2} =5\sqrt3 \]
\[ \boxed{AC=5\sqrt3\text{ см}} \]
3. Стороны \(6\), \(13\), \(12\) см
Большая сторона \(13\). Проверяем:
\[ 13^2=169 \]
\[ 6^2+12^2=36+144=180 \]
Так как \(169<180\), треугольник остроугольный.
\[ \boxed{\text{Треугольник остроугольный}} \]
4. Одна сторона на \(2\) см больше другой, угол между ними \(120^\circ\), третья сторона \(7\) см
Пусть меньшая сторона \(x\), тогда вторая \(x+2\).
\[ 7^2=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)\cos120^\circ \]
\[ 49=x^2+(x+2)^2+x(x+2) \]
\[ 49=3x^2+6x+4 \]
\[ 3x^2+6x-45=0 \]
\[ x^2+2x-15=0 \]
\[ x=3 \]
Значит, стороны: \(3\), \(5\) и \(7\) см.
\[ P=3+5+7=15 \]
\[ \boxed{P=15\text{ см}} \]
Проверка: \[ 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ =9+25+15=49=7^2 \]
5. \(\angle B=45^\circ\), \(AC=14\sqrt2\) см
Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\). Поэтому:
\[ 2R=\frac{AC}{\sin B} \]
\[ R=\frac{14\sqrt2}{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}} =\frac{14\sqrt2}{\sqrt2} =14 \]
\[ \boxed{R=14\text{ см}} \]
Сторона \(BC=10\sqrt2\) см для нахождения радиуса не нужна.
