Реши задание на изображении
На фото два варианта — ниже решения обоих.
Краткие ответы
| № | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{481}\) см | \(2\sqrt{91}\) см |
| 2 | \(BC=3\sqrt3\) см, \(R=3\) см | \(AC=5\sqrt3\) см, \(R=5\) см |
| 3 | тупоугольный | остроугольный |
| 4 | \(P=60\) см | \(P=15\) см |
| 5 | \(R=\dfrac{20\sqrt3}{3}\) см | \(R=14\) см |
Как решать: главные принципы
1. Теорема косинусов
Если известны две стороны \(a\), \(b\) и угол \(\gamma\) между ними, то третья сторона:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \]
Вариант 1, №1:
\[ c^2=(9\sqrt2)^2+11^2-2\cdot 9\sqrt2\cdot 11\cos135^\circ \]
Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}\):
\[ c^2=162+121+198=481 \]
\[ c=\sqrt{481}\text{ см} \]
Вариант 2, №1:
\[ c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ \]
\[ c^2=100+144+120=364 \]
\[ c=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\text{ см} \]
2. Задачи про периметр, №4
Пусть одна сторона \(x\), тогда другая \(x+8\) для варианта 1.
\[ 28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ \]
Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:
\[ 784=3x^2+24x+64 \]
\[ x^2+8x-240=0 \]
\[ x=12 \]
Стороны: \(12\), \(20\), \(28\). Периметр:
\[ P=12+20+28=60\text{ см} \]
Вариант 2, №4: стороны \(x\) и \(x+2\), третья \(7\).
\[ 49=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)\cos120^\circ \]
\[ 49=3x^2+6x+4 \]
\[ x^2+2x-15=0 \]
\[ x=3 \]
Стороны: \(3\), \(5\), \(7\). Периметр:
\[ P=3+5+7=15\text{ см} \]
3. Как определить вид треугольника, №3
Берём самую большую сторону \(c\) и сравниваем:
- \(c^2>a^2+b^2\) — тупоугольный;
- \(c^2=a^2+b^2\) — прямоугольный;
- \(c^2<a^2+b^2\) — остроугольный.
Вариант 1: стороны \(7,10,13\).
\[ 13^2=169,\qquad 7^2+10^2=149 \]
\[ 169>149 \]
Значит, треугольник тупоугольный.
Вариант 2: стороны \(6,12,13\).
\[ 13^2=169,\qquad 6^2+12^2=180 \]
\[ 169<180 \]
Значит, треугольник остроугольный.
4. Теорема синусов
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \]
где \(R\) — радиус описанной окружности.
Вариант 1, №2. \(AB=3\sqrt2\) лежит против угла \(C=45^\circ\):
\[ 2R=\frac{3\sqrt2}{\sin45^\circ} =\frac{3\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}=6 \]
\[ R=3\text{ см} \]
Сторона \(BC\) лежит против угла \(A=120^\circ\):
\[ BC=2R\sin120^\circ =6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ см} \]
Вариант 2, №2. \(BC=5\sqrt2\) лежит против угла \(A=45^\circ\):
\[ 2R=\frac{5\sqrt2}{\sin45^\circ}=10 \]
\[ R=5\text{ см} \]
Сторона \(AC\) лежит против угла \(B=60^\circ\):
\[ AC=2R\sin60^\circ =10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\text{ см} \]
Вариант 1, №5. \(AB=20\) лежит против угла \(C=60^\circ\):
\[ 2R=\frac{20}{\sin60^\circ} =\frac{20}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{40}{\sqrt3} \]
\[ R=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см} \]
Вариант 2, №5. \(AC=14\sqrt2\) лежит против угла \(B=45^\circ\):
\[ 2R=\frac{14\sqrt2}{\sin45^\circ}=28 \]
\[ R=14\text{ см} \]
В задачах №5 вторая сторона дана как дополнительная информация: для радиуса достаточно стороны и противолежащего ей угла.
Проверка
Вариант 1, №4:
\[ 12^2+20^2-2\cdot12\cdot20\cos120^\circ =144+400+240=784=28^2 \]
Вариант 2, №4:
\[ 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ =9+25+15=49=7^2 \]
Всё сходится.
