Реши задание на изображении

\[ 5x^3+24x^2-1=0 \]

Ответ: \[ \boxed{x_1=\frac15,\qquad x_{2,3}=\frac{-5\pm\sqrt{21}}2} \]

Как рассуждать

1. Находим один корень подбором.

Возможные рациональные корни — делители свободного члена \((-1)\), делённые на делители старшего коэффициента \((5)\): \[ \pm1,\ \pm\frac15. \] Проверяем \(x=\frac15\): \[ 5\cdot\frac1{125}+24\cdot\frac1{25}-1 =\frac1{25}+\frac{24}{25}-1=0. \] Значит, \(x=\frac15\) — корень.

2. Раскладываем многочлен на множители.

После деления на \(\left(x-\frac15\right)\) получаем: \[ 5x^3+24x^2-1 =(5x-1)(x^2+5x+1). \]

Можно проверить умножением: \[ (5x-1)(x^2+5x+1) =5x^3+25x^2+5x-x^2-5x-1 =5x^3+24x^2-1. \]

3. Приравниваем каждый множитель к нулю.

\[ 5x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac15. \]

\[ x^2+5x+1=0. \]

Дискриминант: \[ D=5^2-4\cdot1\cdot1=25-4=21. \]

Значит, \[ x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}2. \]

Проверка

По теореме Виета для кубического уравнения сумма корней должна быть \[ -\frac{24}{5}. \] Действительно: \[ \frac15+\frac{-5+\sqrt{21}}2+\frac{-5-\sqrt{21}}2 =\frac15-5 =-\frac{24}{5}. \] Всё сходится.