реши 330 номер,как учителя в школе
Кратко:
а) \(x=3;\ 10\)
б) \(x=5;\ -\frac73\)
а)
\[ \frac1{x^2-6x+8}-\frac1{x-2}+\frac{10}{x^2-4}=0 \]
Сначала ОДЗ — знаменатели не равны нулю:
\[ x^2-6x+8\ne0,\qquad x-2\ne0,\qquad x^2-4\ne0. \]
Раскладываем на множители:
\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4), \] \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Значит:
\[ x\ne2,\quad x\ne4,\quad x\ne-2. \]
Теперь преобразуем уравнение. Так как \(x\ne2\), можно вынести \(\frac1{x-2}\):
\[ \frac1{x-2}\left(\frac1{x-4}-1+\frac{10}{x+2}\right)=0. \]
Первый множитель не равен нулю, поэтому:
\[ \frac1{x-4}-1+\frac{10}{x+2}=0. \]
То есть:
\[ \frac1{x-4}+\frac{10}{x+2}=1. \]
Умножаем на \((x-4)(x+2)\), это можно делать по ОДЗ:
\[ x+2+10(x-4)=(x-4)(x+2). \]
Раскрываем скобки:
\[ x+2+10x-40=x^2-2x-8, \]
\[ 11x-38=x^2-2x-8, \]
\[ x^2-13x+30=0. \]
\[ (x-3)(x-10)=0. \]
Получаем:
\[ x=3,\qquad x=10. \]
Оба корня не равны \(2,\ 4,\ -2\), значит подходят.
Ответ а): \(3;\ 10\).
б)
\[ \frac{x^2+6x+10}{x+3}-\frac{x^2-6x+7}{x-3}=7\frac18 \]
\[ 7\frac18=\frac{57}{8}. \]
ОДЗ:
\[ x\ne-3,\qquad x\ne3. \]
Выделим целую часть в каждой дроби:
\[ \frac{x^2+6x+10}{x+3} = \frac{(x+3)^2+1}{x+3} = x+3+\frac1{x+3}. \]
\[ \frac{x^2-6x+7}{x-3} = \frac{(x-3)^2-2}{x-3} = x-3-\frac2{x-3}. \]
Подставляем:
\[ x+3+\frac1{x+3}-\left(x-3-\frac2{x-3}\right)=\frac{57}{8}. \]
\[ 6+\frac1{x+3}+\frac2{x-3}=\frac{57}{8}. \]
\[ \frac1{x+3}+\frac2{x-3}=\frac{57}{8}-6=\frac98. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{x-3+2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac98, \]
\[ \frac{3x+3}{x^2-9}=\frac98. \]
Умножаем крест-накрест:
\[ 8(3x+3)=9(x^2-9), \]
\[ 24x+24=9x^2-81, \]
\[ 9x^2-24x-105=0. \]
Делим на \(3\):
\[ 3x^2-8x-35=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-35)=64+420=484=22^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{8\pm22}{6}. \]
\[ x_1=\frac{30}{6}=5, \]
\[ x_2=\frac{-14}{6}=-\frac73. \]
Оба корня не равны \(-3\) и \(3\), значит подходят.
Ответ б): \(5;\ -\frac73\).
Главное правило для таких заданий
- Сначала найди ОДЗ — какие \(x\) нельзя подставлять.
- Разложи знаменатели на множители или выдели целую часть.
- Реши получившееся уравнение.
- Обязательно проверь корни по ОДЗ, чтобы не оставить посторонний корень.
Ответ к № 330:
\[
\boxed{\text{а) }3;\ 10\qquad \text{б) }5;\ -\frac73}
\]
