Помоги решить последнее задание
Краткий ответ:
\[
\sin(\arccos 0{,}8)-\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}0{,}2)
=0{,}6-5=-4{,}4=-\frac{22}{5}.
\]
Как решать:
- Обозначим
\[ \alpha=\arccos 0{,}8. \] По определению \(\cos\alpha=0{,}8=\frac45\), причём \(\alpha\in[0;\pi]\), поэтому \(\sin\alpha\ge 0\).
Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-0{,}8^2 =1-0{,}64=0{,}36. \] Значит, \[ \sin\alpha=0{,}6=\frac35. \]
Обозначим
\[ \beta=\operatorname{arcctg}0{,}2. \] Тогда \[ \operatorname{ctg}\beta=0{,}2=\frac15. \] Так как \(0{,}2>0\), угол \(\beta\) лежит в первой четверти, поэтому тангенс положителен: \[ \operatorname{tg}\beta=\frac{1}{\operatorname{ctg}\beta} =\frac{1}{0{,}2}=5. \]Подставляем: \[ \sin(\arccos0{,}8)-\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}0{,}2) =0{,}6-5=-4{,}4. \]
Проверка:
\[
0{,}6^2+0{,}8^2=0{,}36+0{,}64=1,
\]
а \(\operatorname{tg}\beta=5\) означает, что \(\operatorname{ctg}\beta=\frac15=0{,}2\), — всё сходится.
