функция y=x²-6+5
Похоже, в записи пропущен \(x\): в 9 классе чаще всего дают функцию
\[
y=x^2-6x+5.
\]
Для неё:
- график — парабола, ветви направлены вверх;
- вершина:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3, \] \[ y_0=3^2-6\cdot3+5=-4, \] значит, вершина \(V(3;-4)\); - нули функции:
\[ x^2-6x+5=0, \] \[ D=36-20=16,\qquad x=\frac{6\pm4}{2}, \] отсюда \(x=1\) и \(x=5\); - пересечение с осью \(Oy\): \((0;5)\);
- ось симметрии: \(x=3\);
- дополнительные точки для графика:
\[ (1;0),\ (2;-3),\ (3;-4),\ (4;-3),\ (5;0). \]
Проверка: при \(x=3\) получаем минимум \(-4\); ветви вверх, значит область значений \([-4;+\infty)\). Функция убывает при \(x<3\) и возрастает при \(x>3\).
Если запись понимать буквально: \[ y=x^2-6+5=x^2-1. \] Тогда вершина \((0;-1)\), нули \(x=-1\) и \(x=1\), минимум \(-1\), а график — парабола \(y=x^2\), сдвинутая вниз на 1.
Обсуждение
4 сообщенияТам должен быть −6x?
Скорее всего да: если это задание на квадратичную функцию и параболу, то задумано
\[ y=x^2-6x+5. \]
Тогда всё, что я разобрал выше для этого варианта, верно: вершина \((3;-4)\), нули \(x=1\) и \(x=5\), ветви вверх.
Если же в учебнике буквально написано
\[ y=x^2-6+5, \]
то это не опечатка, а просто
\[ y=x^2-1. \]
Если пришлёшь фото задания, точно скажу, какой вариант нужен.
Обьясни подробнее
Разберём подробно функцию
\[ y=x^2-6x+5. \]
1. Что это за функция
Это квадратичная функция общего вида
\[ y=ax^2+bx+c, \]
где \(a=1,\ b=-6,\ c=5\).
Так как \(a=1>0\), график — парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, у функции есть наименьшее значение, а наибольшего нет.
2. Вершина параболы
Координату \(x\) вершины находят по формуле
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]
Подставляем \(a=1,\ b=-6\):
\[ x_0=-\frac{-6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. \]
Теперь найдём \(y_0\), подставив \(x=3\) в функцию:
\[ y_0=3^2-6\cdot3+5=9-18+5=-4. \]
Значит, вершина параболы:
\[ V(3;-4). \]
Так как ветви вверх, в этой точке функция принимает минимальное значение \(-4\).
3. Почему формула вершины такая
Это можно увидеть, если выделить полный квадрат:
\[ x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3)^2-4. \]
Получили
\[ y=(x-3)^2-4. \]
Из такой записи сразу видно:
- график \(y=x^2\) сдвинули вправо на \(3\);
- затем вниз на \(4\);
- поэтому вершина находится в точке \((3;-4)\);
- ось симметрии параболы — прямая \(x=3\).
4. Нули функции
Нули — это точки, где график пересекает ось \(Ox\), то есть \(y=0\):
\[ x^2-6x+5=0. \]
Решаем через дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16. \]
\[ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}. \]
Получаем:
\[ x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5. \]
Значит, парабола пересекает ось \(Ox\) в точках
\[ (1;0)\quad\text{и}\quad(5;0). \]
Можно было решить и через разложение:
\[ x^2-6x+5=(x-1)(x-5). \]
5. Пересечение с осью \(Oy\)
Ось \(Oy\) — это \(x=0\). Подставляем:
\[ y=0^2-6\cdot0+5=5. \]
Точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ (0;5). \]
Из-за симметрии относительно прямой \(x=3\) такая же точка есть при \(x=6\):
\[ (6;5). \]
6. Таблица точек для графика
Возьмём несколько значений \(x\):
\[ \begin{array}{c|c} x & y=x^2-6x+5\\ \hline 0 & 5\\ 1 & 0\\ 2 & -3\\ 3 & -4\\ 4 & -3\\ 5 & 0\\ 6 & 5 \end{array} \]
По этим точкам строим параболу: слева она идёт вниз до вершины \((3;-4)\), затем поднимается вверх.
7. Свойства функции
Область определения:
\[ x\in(-\infty;+\infty). \]Область значений:
\[ y\in[-4;+\infty), \] потому что минимум равен \(-4\), а выше парабола уходит в бесконечность.Функция убывает при \(x\le 3\) и возрастает при \(x\ge 3\).
\(y=0\) при \(x=1\) и \(x=5\).
\(y>0\) при
\[ x<1 \quad\text{или}\quad x>5. \]\(y<0\) при
\[ 1<x<5. \]
8. Проверка
Подставим вершину:
\[ y(3)=9-18+5=-4. \]
Подставим нули:
\[ y(1)=1-6+5=0,\qquad y(5)=25-30+5=0. \]
Всё сходится.
Итог: график — парабола с ветвями вверх, вершина \((3;-4)\), нули \(x=1\) и \(x=5\), ось симметрии \(x=3\), минимум \(-4\).
Если нужно, могу показать, как по этому графику решать неравенства вида \(x^2-6x+5>0\) или \(x^2-6x+5\le0\).
