256
Краткий ответ.
По остаткам от деления на \(n\) целые числа разбиваются ровно на \(n\) классов: остатки \(0,1,\dots,n-1\). Поэтому:
- на \(2\) — 2 класса;
- на \(3\) — 3 класса;
- на \(5\) — 5 классов;
- на \(6\) — 6 классов.
Обозначим
\[
C_r^{(n)}=\{\,nk+r\mid k\in\mathbb Z\,\},\qquad r=0,1,\dots,n-1.
\]
| Делитель | Классы | Сколько |
|---|---|---|
| \(2\) | \(C_0=\{2k\}\), \(C_1=\{2k+1\}\) | \(2\) |
| \(3\) | \(C_0=\{3k\}\), \(C_1=\{3k+1\}\), \(C_2=\{3k+2\}\) | \(3\) |
| \(5\) | \(C_r=\{5k+r\}\), \(r=0,1,2,3,4\) | \(5\) |
| \(6\) | \(C_r=\{6k+r\}\), \(r=0,1,2,3,4,5\) | \(6\) |
Например, при делении на \(3\): \[ C_0=\{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}, \] \[ C_1=\{\dots,-5,-2,1,4,7,\dots\}, \] \[ C_2=\{\dots,-4,-1,2,5,8,\dots\}. \]
Важно: для отрицательных чисел остаток берём неотрицательный. Например, \[ -7=3\cdot(-3)+2, \] поэтому \(-7\) попадает в класс с остатком \(2\).
Диаграмма Эйлера — Венна.
Рисуем прямоугольник — множество \(\mathbb Z\). Внутри него \(n\) непересекающихся овалов:
\[
\boxed{
\begin{array}{c}
\text{Прямоугольник } \mathbb Z:\\
(C_0)\quad (C_1)\quad (C_2)\quad \cdots\quad (C_{n-1})
\end{array}}
\]
Для \(n=2,3,5,6\) соответственно будет \(2,3,5,6\) овалов. Они не пересекаются и вместе заполняют весь прямоугольник.
Гипотеза.
Для любого натурального \(n\) множество целых чисел разбивается ровно на \(n\) классов по остаткам от деления на \(n\).
Доказательство.
Любое целое число \(a\) можно записать в виде
\[
a=nq+r,
\]
где \(q\in\mathbb Z\), а остаток \(r\) удовлетворяет условию
\[
0\le r<n.
\]
Значит, каждое число попадает хотя бы в один класс \(C_r\).
Остаток определён однозначно: если \[ a=nq_1+r_1=nq_2+r_2, \] где \(0\le r_1,r_2<n\), то \[ r_1-r_2=n(q_2-q_1). \] То есть \(r_1-r_2\) делится на \(n\). Но \(|r_1-r_2|<n\), поэтому единственная возможность — \[ r_1=r_2. \] Значит, число не может попасть сразу в два разных класса.
Классов ровно \(n\), потому что возможны только остатки \[ 0,1,2,\dots,n-1, \] и каждый такой класс непуст: например, число \(r\) само имеет остаток \(r\).
Проверка.
Для \(n=3\):
\[
8=3\cdot2+2\Rightarrow 8\in C_2,
\]
\[
-7=3\cdot(-3)+2\Rightarrow -7\in C_2,
\]
\[
9=3\cdot3+0\Rightarrow 9\in C_0.
\]
Каждое число попало ровно в один класс.
