Раскрой скобки

\[ \left(x^{\frac16}+2\right)\left(x^{\frac13}-2x^{\frac16}+4\right) \]

Обозначим \(t=x^{\frac16}\). Тогда \(x^{\frac13}=t^2\), и выражение принимает вид:

\[ (t+2)(t^2-2t+4) \]

Это формула суммы кубов:

\[ (t+2)(t^2-2t+4)=t^3+2^3=t^3+8 \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ t^3=\left(x^{\frac16}\right)^3=x^{\frac12}=\sqrt{x} \]

Значит,

\[ \boxed{\sqrt{x}+8} \]

при \(x\ge 0\) — тогда все степени определены в действительных числах.

Можно обойтись без замены — сразу по формуле суммы кубов:

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

Здесь \(a=x^{\frac16}\), \(b=2\). Проверим вторую скобку:

\[ a^2=x^{\frac13},\qquad ab=2x^{\frac16},\qquad b^2=4 \]

То есть вторая скобка как раз равна \(a^2-ab+b^2\). Значит:

\[ \left(x^{\frac16}+2\right)\left(x^{\frac13}-2x^{\frac16}+4\right) =a^3+b^3 \]

\[ a^3=\left(x^{\frac16}\right)^3=x^{\frac12}=\sqrt{x},\qquad b^3=8 \]

\[ \boxed{\sqrt{x}+8} \]

Условие: \(x\ge 0\), чтобы степени \(x^{\frac16}\) и \(x^{\frac13}\) имели смысл.

Обозначим \(x=a^{\frac18}\). Тогда \(a^{\frac14}=x^2\).

Переставим множители:

\[ \left(a^{\frac18}-1\right)\left(a^{\frac18}+1\right)\left(a^{\frac14}+1\right) \]

Первые две скобки — разность квадратов:

\[ \left(a^{\frac18}-1\right)\left(a^{\frac18}+1\right) =a^{\frac14}-1 \]

Теперь:

\[ \left(a^{\frac14}-1\right)\left(a^{\frac14}+1\right) =a^{\frac12}-1 \]

То есть:

\[ a^{\frac12}=\sqrt a \]

Ответ:

\[ \boxed{\sqrt a-1} \]

при \(a\ge 0\), чтобы все степени были определены в действительных числах.

\[ \left(343^{\frac12}\cdot\left(\frac1{49}\right)^{\frac38}\right)^{\frac43} \]

Перейдём к основанию \(7\):

\[ 343=7^3,\qquad \frac1{49}=7^{-2} \]

Тогда:

\[ 343^{\frac12}=7^{\frac32} \]

\[ \left(\frac1{49}\right)^{\frac38} =\left(7^{-2}\right)^{\frac38} =7^{-\frac34} \]

Перемножаем степени с одинаковым основанием:

\[ 7^{\frac32}\cdot 7^{-\frac34} =7^{\frac32-\frac34} =7^{\frac34} \]

Теперь возводим в степень \(\frac43\):

\[ \left(7^{\frac34}\right)^{\frac43} =7^{\frac34\cdot\frac43} =7^1=7 \]

\[ \boxed{7} \]

Если внешняя степень записана именно как \(\frac43\) в показателе.

Считаю, что запись означает:

\[ 10^{\frac14}\cdot 40^{\frac14}\cdot 5^{\frac12} \]

Сначала объединим первые два множителя:

\[ 10^{\frac14}\cdot 40^{\frac14}=(10\cdot40)^{\frac14}=400^{\frac14} \]

Так как \(400=20^2\):

\[ 400^{\frac14}=\left(20^2\right)^{\frac14}=20^{\frac12} \]

Теперь умножим на \(5^{\frac12}\):

\[ 20^{\frac12}\cdot 5^{\frac12}=(20\cdot5)^{\frac12}=100^{\frac12}=10 \]

\[ \boxed{10} \]

\[ \frac{32^{0{,}24}\cdot 4^{0{,}7}}{64^{0{,}6}\cdot 16^{0{,}25}} \]

Все основания — степени двойки:

\[ 32=2^5,\quad 4=2^2,\quad 64=2^6,\quad 16=2^4 \]

Числитель:

\[ 32^{0{,}24}\cdot 4^{0{,}7} =2^{5\cdot0{,}24}\cdot2^{2\cdot0{,}7} =2^{1{,}2}\cdot2^{1{,}4} =2^{2{,}6} \]

Знаменатель:

\[ 64^{0{,}6}\cdot16^{0{,}25} =2^{6\cdot0{,}6}\cdot2^{4\cdot0{,}25} =2^{3{,}6}\cdot2^{1} =2^{4{,}6} \]

Делим:

\[ \frac{2^{2{,}6}}{2^{4{,}6}} =2^{2{,}6-4{,}6} =2^{-2} =\frac14 \]

\[ \boxed{\frac14} \]

Считаю выражение так:

\[ \left(\frac{12^{\frac12}}{7^{\frac23}}\cdot 8^{-\frac16}\right)\cdot \frac{3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}}{8^{\frac12}} \]

Разложим основания на простые множители:

\[ 12^{\frac12}=2\cdot 3^{\frac12},\qquad 8^{-\frac16}=2^{-\frac12},\qquad 8^{\frac12}=2^{\frac32} \]

Тогда:

\[ \frac{12^{\frac12}}{7^{\frac23}}\cdot 8^{-\frac16} =2^{\frac12}\cdot 3^{\frac12}\cdot 7^{-\frac23} \]

\[ \frac{3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}}{8^{\frac12}} =3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}\cdot 2^{-\frac32} \]

Перемножаем:

\[ 2^{\frac12-\frac32}\cdot 3^{\frac12+\frac12}\cdot 7^{-\frac23+\frac53} \]

\[ =2^{-1}\cdot 3^1\cdot 7^1 =\frac{3\cdot 7}{2} =\frac{21}{2} \]

\[ \boxed{\frac{21}{2}=10{,}5} \]

Если скобки в задании расставлены иначе, пришли фото — уточню.

Понял: в первой скобке весь знаменатель — \(7^{\frac23}\cdot 8^{-\frac16}\). Тогда выражение такое:

\[ \left(\frac{12^{\frac12}}{7^{\frac23}\cdot 8^{-\frac16}}\right)\cdot \frac{3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}}{8^{\frac12}} \]

Разложим степени:

\[ 12^{\frac12}=2\cdot 3^{\frac12},\qquad 8^{-\frac16}=2^{-\frac12},\qquad 8^{\frac12}=2^{\frac32} \]

Первая скобка:

\[ \frac{2\cdot 3^{\frac12}}{7^{\frac23}\cdot 2^{-\frac12}} =2^{\frac32}\cdot 3^{\frac12}\cdot 7^{-\frac23} \]

Вторая часть:

\[ \frac{3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}}{2^{\frac32}} =3^{\frac12}\cdot 7^{\frac53}\cdot 2^{-\frac32} \]

Перемножаем:

\[ 2^{\frac32-\frac32}\cdot 3^{\frac12+\frac12}\cdot 7^{-\frac23+\frac53} \]

\[ =2^0\cdot 3^1\cdot 7^1=3\cdot 7=21 \]

\[ \boxed{21} \]

То есть из-за скобок в первом знаменателе ответ меняется: было \(\frac{21}{2}\), а теперь получается \(21\).

Опустим высоты \(BH\) и \(CK\) на основание \(AD\). Тогда

\[ BH=CK=12,\qquad HK=BC=10 \]

Пусть \(AH=x\). Тогда

\[ KD=AD-BC-AH=35-10-x=25-x \]

Поскольку \(\angle A+\angle D=90^\circ\), эти углы дополняют друг друга:

\[ \tan A\cdot \tan D=1 \]

Из прямоугольных треугольников:

\[ \tan A=\frac{12}{x},\qquad \tan D=\frac{12}{25-x} \]

Получаем:

\[ \frac{12}{x}\cdot \frac{12}{25-x}=1 \]

\[ x(25-x)=144 \]

\[ x^2-25x+144=0 \]

\[ x=9 \quad \text{или} \quad x=16 \]

Тогда боковые стороны:

\[ AB=\sqrt{x^2+12^2},\qquad CD=\sqrt{(25-x)^2+12^2} \]

Если \(x=9\):

\[ AB=\sqrt{9^2+12^2}=15,\qquad CD=\sqrt{16^2+12^2}=20 \]

Если \(x=16\), то значения меняются местами.

\[ \boxed{15\text{ см и }20\text{ см}} \]

Без рисунка нельзя указать, какая именно сторона \(AB\), а какая \(CD\); в любом случае боковые стороны равны \(15\) см и \(20\) см.

Пусть \(AB=c\), \(BC=a\), \(\angle ABC=30^\circ\).

• \(P\) — основание высоты из \(C\) на \(AB\), поэтому в прямоугольном \(\triangle BCP\): \[ BP=BC\cos30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt3}{2} \]

• \(K\) — основание высоты из \(A\) на \(BC\), поэтому в прямоугольном \(\triangle ABK\): \[ BK=AB\cos30^\circ=c\cdot\frac{\sqrt3}{2} \]

В треугольнике \(BPK\) угол между сторонами \(BP\) и \(BK\) тоже равен \(30^\circ\). Значит, \[ S_{BPK}=\frac12 BP\cdot BK\sin30^\circ \] \[ S_{BPK}=\frac12\cdot a\frac{\sqrt3}{2}\cdot c\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 =\frac{3ac}{16} \]

Площадь исходного треугольника: \[ S_{ABC}=\frac12 ac\sin30^\circ=\frac{ac}{4}=16 \] отсюда \[ ac=64 \]

Тогда \[ S_{BPK}=\frac{3\cdot64}{16}=12 \]

\[ \boxed{S_{BPK}=12\text{ см}^2} \]

Или коротко: площади относятся как \(\cos^2 30^\circ\), поэтому \[ S_{BPK}=16\cdot\frac34=12. \]

Формула получается из прямоугольного треугольника \(ABK\).

• \(AK\) — высота, значит \(AK\perp BC\), поэтому \(\angle AKB=90^\circ\).
• Точка \(K\) лежит на \(BC\), значит угол при вершине \(B\) в треугольнике \(ABK\) равен углу \(ABC\): \[ \angle ABK=30^\circ. \]
• В прямоугольном треугольнике \(ABK\) гипотенуза — это \(AB\), а прилежащий к углу \(B\) катет — это \(BK\).

По определению косинуса: \[ \cos B=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} =\frac{BK}{AB}. \]

Отсюда: \[ BK=AB\cos30^\circ=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}. \]

Аналогично для \(BP\): в прямоугольном треугольнике \(BCP\) с \(\angle B=30^\circ\) \[ BP=BC\cos30^\circ. \]

Так как точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой и \(B\) между \(A\) и \(C\), при параллельном проектировании порядок точек сохраняется, а отношение отрезков на прямой — тоже:

\[ \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{AB}{BC} \]

Дано:

\[ AB=8\text{ см},\quad BC=6\text{ см},\quad A_1B_1=12\text{ см} \]

Тогда:

\[ \frac{12}{B_1C_1}=\frac{8}{6} \]

\[ 8\cdot B_1C_1=72 \]

\[ B_1C_1=9\text{ см} \]

\[ \boxed{B_1C_1=9\text{ см}} \]

Если в условии имелось в виду другое данное, например \(A_1B_1=12\), уточни запись — ответ будет зависеть от этого.

Это следует из теоремы о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса).

При параллельном проектировании точки \(A,B,C\) переходят в \(A_1,B_1,C_1\), причём прямые проектирования параллельны:

\[ AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1 \]

Три параллельные прямые пересекают две прямые \(AC\) и \(A_1C_1\). По теореме Фалеса отрезки на одной прямой пропорциональны отрезкам на другой:

\[ \frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1} \]

Можно понять и так: \(B\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(8:6\). Параллельное проектирование сохраняет это отношение, поэтому \(B_1\) делит \(A_1C_1\) в том же отношении \(8:6\). Значит,

\[ \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{8}{6} \]

\[ \frac{12}{B_1C_1}=\frac{8}{6} \]

\[ B_1C_1=12\cdot\frac{6}{8}=9 \]

\[ \boxed{B_1C_1=9\text{ см}} \]

То есть все отрезки на этой прямой при таком проектировании увеличиваются в одно и то же число раз — здесь в \(1{,}5\) раза.