реши 222 задание и 224
Везде ищем действительные корни — так в школьном курсе.
Краткий ответ
222.
а) \(x=\pm1,\ \pm2\);
б) \(x=2\);
в) \(x=-4,\ 3\).
224.
а) \(x=\pm3,\ \pm4\);
б) действительных корней нет;
в) \(x=\pm\sqrt2\);
г) \(t=\pm\sqrt3\);
д) \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt2}{2}\);
е) действительных корней нет.
Как рассуждать
Главный приём: если в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, обозначаем его новой буквой.
Для биквадратного уравнения \(ax^4+bx^2+c=0\) делаем замену \(z=x^2\), причём \(z\ge0\).
После решения квадратного уравнения обязательно возвращаемся к \(x\) и решаем \(x^2=z\). Отрицательные \(z\) отбрасываем.
222
а) \((x^2+3)^2-11(x^2+3)+28=0\)
Пусть \(t=x^2+3\). Тогда:
\[ t^2-11t+28=0 \]
\[ (t-4)(t-7)=0 \]
Значит, \(t=4\) или \(t=7\).
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]
Ответ: \(x=\pm1,\ \pm2\).
б) \((x^2-4x)^2+9(x^2-4x)+20=0\)
Пусть \(t=x^2-4x\):
\[ t^2+9t+20=0 \]
\[ (t+4)(t+5)=0 \]
Значит, \(t=-4\) или \(t=-5\).
- \(x^2-4x=-4\)
\[ x^2-4x+4=0 \]
\[ (x-2)^2=0 \]
\[ x=2 \]
- \(x^2-4x=-5\)
\[ x^2-4x+5=0 \]
Дискриминант:
\[ D=16-20=-4<0 \]
Действительных корней нет.
Ответ: \(x=2\).
в) \((x^2+x)(x^2+x-5)=84\)
Пусть \(t=x^2+x\). Тогда:
\[ t(t-5)=84 \]
\[ t^2-5t-84=0 \]
\[ D=25+336=361=19^2 \]
\[ t=\frac{5\pm19}{2} \]
\[ t=12 \quad \text{или} \quad t=-7 \]
- \(x^2+x=12\)
\[ x^2+x-12=0 \]
\[ (x-3)(x+4)=0 \]
\[ x=3,\quad x=-4 \]
- \(x^2+x=-7\)
\[ x^2+x+7=0 \]
\[ D=1-28=-27<0 \]
Корней нет.
Ответ: \(x=-4,\ 3\).
224
а) \(x^4-25x^2+144=0\)
Замена \(z=x^2\ge0\):
\[ z^2-25z+144=0 \]
\[ D=625-576=49 \]
\[ z=\frac{25\pm7}{2} \]
\[ z=16 \quad \text{или} \quad z=9 \]
Возвращаемся:
\[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4 \]
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]
Ответ: \(x=\pm3,\ \pm4\).
б) \(y^4+14y^2+48=0\)
Замена \(z=y^2\ge0\):
\[ z^2+14z+48=0 \]
\[ (z+6)(z+8)=0 \]
\[ z=-6 \quad \text{или} \quad z=-8 \]
Оба значения отрицательные, а \(y^2\ge0\). Значит, действительных корней нет.
Ответ: корней нет.
в) \(x^4-4x^2+4=0\)
\[ (x^2-2)^2=0 \]
\[ x^2=2 \]
\[ x=\pm\sqrt2 \]
Ответ: \(x=\pm\sqrt2\).
г) \(t^4-2t^2-3=0\)
Замена \(z=t^2\ge0\):
\[ z^2-2z-3=0 \]
\[ (z-3)(z+1)=0 \]
\[ z=3 \quad \text{или} \quad z=-1 \]
Значение \(z=-1\) не подходит, так как \(t^2\ge0\).
\[ t^2=3 \]
\[ t=\pm\sqrt3 \]
Ответ: \(t=\pm\sqrt3\).
д) \(2x^4-9x^2+4=0\)
Замена \(z=x^2\ge0\):
\[ 2z^2-9z+4=0 \]
\[ D=81-32=49 \]
\[ z=\frac{9\pm7}{4} \]
\[ z=4 \quad \text{или} \quad z=\frac12 \]
- \(x^2=4\)
\[ x=\pm2 \]
- \(x^2=\frac12\)
\[ x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2} \]
Ответ: \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt2}{2}\).
е) \(5y^4-5y^2+2=0\)
Замена \(z=y^2\ge0\):
\[ 5z^2-5z+2=0 \]
\[ D=25-40=-15<0 \]
Корней у квадратного уравнения нет, значит, и исходное уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Быстрая проверка
Например, в 222 а при \(x=2\):
\[ (4+3)^2-11(4+3)+28=49-77+28=0 \]
Всё сходится.
Обсуждение
12 сообщенийОткуда получилась в задании 222 в а t в квадрате минус одиннадцать плюс двадцать восемь
Потому что в уравнении 222(а):
\[ (x^2+3)^2-11(x^2+3)+28=0 \]
выражение \(x^2+3\) повторяется два раза. Обозначаем его буквой \(t\):
\[ t=x^2+3 \]
Теперь подставляем \(t\) вместо каждой скобки \((x^2+3)\):
- вместо \((x^2+3)^2\) пишем \(t^2\);
- вместо \((x^2+3)\) пишем \(t\).
Получаем:
\[ t^2-11t+28=0 \]
То есть «минус \(11t\)», а не просто «минус 11»:
\[ \boxed{t^2-11t+28=0} \]
Дальше решаем:
\[ t^2-11t+28=0 \]
\[ D=121-112=9 \]
\[ t=\frac{11\pm3}{2} \]
\[ t=7 \quad \text{или} \quad t=4 \]
И возвращаемся к \(x^2+3\):
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
Ответ: \(x=\pm1,\ \pm2\).
Не понял а
Если ты про 222(а), объясню ещё проще.
У нас уравнение:
\[ (x^2+3)^2-11(x^2+3)+28=0 \]
Скобка \((x^2+3)\) повторяется. Чтобы не писать её каждый раз, дадим ей короткое имя:
\[ t=x^2+3 \]
Теперь заменим:
\[ (x^2+3)^2 \rightarrow t^2 \]
\[ -11(x^2+3) \rightarrow -11t \]
\[ +28 \rightarrow +28 \]
Получается:
\[ t^2-11t+28=0 \]
Это обычное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:
\[ t^2-11t+28=(t-4)(t-7) \]
Проверка раскрытием:
\[ (t-4)(t-7)=t^2-7t-4t+28=t^2-11t+28 \]
Значит:
\[ (t-4)(t-7)=0 \]
Отсюда:
\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=7 \]
Но нам нужен не \(t\), а \(x\). Вспоминаем, что \(t=x^2+3\):
- Если \(t=4\):
\[ x^2+3=4 \]
\[ x^2=1 \]
\[ x=\pm1 \]
- Если \(t=7\):
\[ x^2+3=7 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm2 \]
Ответ: \(x=\pm1,\ \pm2\).
Главная мысль: \(t\) — это просто временное обозначение скобки \((x^2+3)\). В конце мы возвращаемся от \(t\) к \(x\).
Там же нужно по фантанчику делать
Да, если у вас это оформляют «фонтанчиком», то суть та же — замена и обратная замена. Вот как это выглядит для 222(а):
\[ (x^2+3)^2-11(x^2+3)+28=0 \]
Обозначаем повторяющуюся скобку:
\[ t=x^2+3 \]
Получаем:
\[ t^2-11t+28=0 \]
\[ (t-4)(t-7)=0 \]
\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=7 \]
Теперь «фонтанчиком» идём обратно к \(x\):
\[ \begin{array}{c} t=4 \longrightarrow x^2+3=4 \longrightarrow x^2=1 \longrightarrow x=\pm1\\[4pt] t=7 \longrightarrow x^2+3=7 \longrightarrow x^2=4 \longrightarrow x=\pm2 \end{array} \]
Ответ:
\[ x=-2;\ -1;\ 1;\ 2 \]
То есть корни: \(\pm1,\ \pm2\).
Если у вас «фонтанчик» — это какое-то другое оформление, пришли фото образца, я подгоню решение под него.
Ладно
Хорошо. Если понадобится разобрать другой пример или оформить «фонтанчиком» — пиши, помогу.
А ты по другим предметам можешь
Да, могу помочь и с другими школьными предметами: русский язык, физика, химия, история, биология, английский и др. Пришли задание текстом или фото — разберём и объясним решение.
Можно ли по вьете в 222 задание в а
Да, 222(а) можно решить по теореме Виета — но после замены:
\[ t=x^2+3 \]
Получаем:
\[ t^2-11t+28=0 \]
По теореме Виета:
\[ t_1+t_2=11 \]
\[ t_1\cdot t_2=28 \]
Подбираем числа: \(4\) и \(7\), потому что
\[ 4+7=11,\qquad 4\cdot7=28 \]
Значит:
\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=7 \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]
Ответ: \(x=\pm1,\ \pm2\).
То есть по Виету удобно решить само уравнение относительно \(t\), а потом обязательно вернуться к \(x\).
