Нужно решить задачу

Кратко: периметр четырёхугольника из середин сторон — 22 см, площадь — 28 см².

По рисунку \(N,M,K,P\) — середины сторон ромба.

1. \(NK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \[ NK=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}. \] Аналогично \[ MP=4\text{ см}. \]

2. \(NM\) — средняя линия треугольника \(ABD\), значит \[ NM=\frac{BD}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \] Аналогично \[ KP=7\text{ см}. \]

3. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому получившийся четырёхугольник — прямоугольник со сторонами \(4\) см и \(7\) см.

Тогда: \[ P=2(4+7)=22\text{ см}, \] \[ S=4\cdot7=28\text{ см}^2. \]

Ответ: \(P=22\) см, \(S=28\) см².

Ответ: \(MNKL\) — прямоугольник; \(MN=LK=7\) см, \(ML=NK=4\) см.
Если нужны периметр и площадь: \(P=22\) см, \(S=28\) см².

Решение с твоими буквами и значениями

Дано: \(ABCD\) — ромб,
\[ AC=14\text{ см},\quad BD=8\text{ см}, \] \[ AM=BM,\quad BN=CN,\quad CK=DK,\quad AL=DL. \] Значит, \(M,N,K,L\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\).

1. В треугольнике \(ABD\): \[ AM=BM,\quad AL=DL, \] поэтому \(ML\) — средняя линия: \[ ML=\frac{BD}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см},\qquad ML\parallel BD. \]

2. В треугольнике \(CBD\): \[ CN=BN,\quad CK=DK, \] поэтому \(NK\) — средняя линия: \[ NK=\frac{BD}{2}=4\text{ см},\qquad NK\parallel BD. \]

3. В треугольнике \(ABC\): \[ AM=BM,\quad BN=CN, \] поэтому \(MN\) — средняя линия: \[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см},\qquad MN\parallel AC. \]

4. В треугольнике \(ADC\): \[ AL=DL,\quad CK=DK, \] поэтому \(LK\) — средняя линия: \[ LK=\frac{AC}{2}=7\text{ см},\qquad LK\parallel AC. \]

5. В ромбе диагонали перпендикулярны: \[ AC\perp BD. \] Так как \(MN\parallel AC\), а \(ML\parallel BD\), то \[ MN\perp ML. \] Значит, угол \(LMN\) прямой.

6. В четырёхугольнике \(MNKL\) противоположные стороны равны и параллельны: \[ MN=LK=7\text{ см},\qquad ML=NK=4\text{ см}. \] Все углы прямые, поэтому \(MNKL\) — прямоугольник.

Ответ: \(MNKL\) — прямоугольник;
\[ MN=LK=7\text{ см},\quad ML=NK=4\text{ см}. \]

Извини, \(L\) — это опечатка. У тебя четвёртая точка — \(P\). Вот то же решение с твоими буквами:

Ответ: \(MNKP\) — прямоугольник;
\[ MN=KP=7\text{ см},\qquad NK=MP=4\text{ см}, \] \[ P=22\text{ см},\qquad S=28\text{ см}^2. \]

Решение

1. \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому \[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см},\quad MN\parallel AC. \]

2. \(KP\) — средняя линия \(\triangle ADC\), поэтому \[ KP=\frac{AC}{2}=7\text{ см},\quad KP\parallel AC. \]

3. \(NK\) — средняя линия \(\triangle CBD\), поэтому \[ NK=\frac{BD}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см},\quad NK\parallel BD. \]

4. \(MP\) — средняя линия \(\triangle ABD\), поэтому \[ MP=\frac{BD}{2}=4\text{ см},\quad MP\parallel BD. \]

5. Диагонали ромба перпендикулярны: \(AC\perp BD\). Значит, \(MN\perp NK\), то есть угол при вершине \(N\) прямой. Поэтому \(MNKP\) — прямоугольник.

6. Периметр и площадь: \[ P=2(7+4)=22\text{ см}, \] \[ S=7\cdot4=28\text{ см}^2. \]

Если на твоём рисунке диагонали подписаны наоборот (\(AC=8\), \(BD=14\)), то просто поменяй местами \(7\) и \(4\): \(MN=KP=4\) см, \(NK=MP=7\) см. Периметр и площадь при этом не изменятся.