Реши уравнение
Ответ:
\[
a=4,\qquad b=3,
\]
то есть
\[
\frac{7x-6}{(x+2)(x-3)}
=\frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-3},
\qquad x\ne -2,\ x\ne 3.
\]
Как это получается
Нужно найти \(a\) и \(b\), при которых равенство будет тождеством: \[ \frac{7x-6}{(x+2)(x-3)} =\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}. \]
Приводим правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3} =\frac{a(x-3)+b(x+2)}{(x+2)(x-3)}. \]
Раскрываем скобки в числителе: \[ a(x-3)+b(x+2) =ax-3a+bx+2b =(a+b)x+(2b-3a). \]
Знаменатели одинаковые, значит числители должны совпадать: \[ 7x-6=(a+b)x+(2b-3a). \]
У равных многочленов совпадают коэффициенты при \(x\) и свободные члены: \[ \begin{cases} a+b=7,\\ 2b-3a=-6. \end{cases} \]
- Решаем систему. Из первого уравнения \(b=7-a\): \[ 2(7-a)-3a=-6, \] \[ 14-5a=-6, \] \[ 5a=20, \] \[ a=4. \] Тогда \[ b=7-4=3. \]
Проверка
\[ \frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-3} =\frac{4(x-3)+3(x+2)}{(x+2)(x-3)} =\frac{4x-12+3x+6}{(x+2)(x-3)} =\frac{7x-6}{(x+2)(x-3)}. \]
Всё верно. Важно не забыть ограничения: \(x\ne -2\) и \(x\ne 3\), иначе исходная дробь не имеет смысла.
Обсуждение
4 сообщенияРеши другим способом
Тот же ответ можно получить методом вычёркивания — подстановкой корней знаменателя.
Дано: \[ \frac{7x-6}{(x+2)(x-3)} =\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}. \]
Умножим обе части на \((x+2)(x-3)\): \[ 7x-6=a(x-3)+b(x+2). \]
После умножения получилось равенство многочленов, поэтому можно подставлять удобные значения \(x\).
1. Подставим \(x=3\)
Тогда множитель при \(a\) обращается в нуль: \[ 7\cdot 3-6=b(3+2), \] \[ 15=5b, \] \[ b=3. \]
2. Подставим \(x=-2\)
Тогда обращается в нуль множитель при \(b\): \[ 7\cdot(-2)-6=a(-2-3), \] \[ -20=-5a, \] \[ a=4. \]
Получаем: \[ \boxed{a=4,\quad b=3} \] при \(x\ne -2,\ x\ne 3\).
Проверка: \[ \frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-3} =\frac{4(x-3)+3(x+2)}{(x+2)(x-3)} =\frac{7x-6}{(x+2)(x-3)}. \]
Ответ тот же: \(a=4,\ b=3\).
Реши с помощью представления дроби в виде суммы чисел
Представим числитель в виде суммы двух удобных слагаемых, чтобы каждое сократилось с одним из множителей знаменателя:
\[ 7x-6=4(x-3)+3(x+2). \]
Действительно: \[ 4(x-3)+3(x+2)=4x-12+3x+6=7x-6. \]
Тогда
\[ \frac{7x-6}{(x+2)(x-3)} = \frac{4(x-3)+3(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \]
\[ = \frac{4(x-3)}{(x+2)(x-3)} + \frac{3(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-3}. \]
Значит,
\[ \boxed{a=4,\qquad b=3} \]
при \(x\ne -2,\ x\ne 3\).
Проверка: \[ \frac{4}{x+2}+\frac{3}{x-3} = \frac{4(x-3)+3(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{7x-6}{(x+2)(x-3)}. \]
