457,462

457

Кратко: а) \(25^4=5^8\); б) \(125^3=5^9\); в) \(625^2=5^8\).

Как рассуждать: нужно представить каждое число как степень пятёрки: \[ 25=5^2,\qquad 125=5^3,\qquad 625=5^4. \] Затем используем правило \((a^m)^n=a^{mn}\): \[ 25^4=(5^2)^4=5^{2\cdot4}=5^8; \] \[ 125^3=(5^3)^3=5^{3\cdot3}=5^9; \] \[ 625^2=(5^4)^2=5^{4\cdot2}=5^8. \]

462

Кратко: а) \(x^{13}\); б) \(a^{11}\); в) \(a^{14}\); г) \(x^{20}\); д) \(m^{20}\); е) \(x^{10}\).

Ключевые шаги:

Используем два правила: \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

а) \[ x^3\cdot(x^2)^5=x^3\cdot x^{10}=x^{13}. \]

б) \[ (a^3)^2\cdot a^5=a^6\cdot a^5=a^{11}. \]

в) \[ (a^2)^3\cdot(a^4)^2=a^6\cdot a^8=a^{14}. \]

г) \[ (x^2)^5\cdot(x^5)^2=x^{10}\cdot x^{10}=x^{20}. \]

д) \[ (m^2m^3)^4=(m^5)^4=m^{20}. \]

е) \[ (x^4x)^2=(x^5)^2=x^{10}. \]

Проверка: например, в 462 а при \(x=2\): \[ 2^3\cdot(2^2)^5=8\cdot1024=8192=2^{13}. \] Значит, показатель \(13\) найден верно.