Сделай 484 задание
Пусть \(M\) — середина стороны \(AB\), \(N\) — середина стороны \(AC\) треугольника \(ABC\). Нужно доказать: \[ MN\parallel BC,\qquad MN=\frac12 BC. \]
Доказательство
Продлим отрезок \(MN\) за точку \(N\) и отложим \(ND=MN\).
Рассмотрим четырёхугольник \(AMCD\). Его диагонали \(AC\) и \(MD\) пересекаются в точке \(N\), причём \[ AN=NC \] (так как \(N\) — середина \(AC\)) и \[ MN=ND \] (по построению).
Значит, диагонали \(AC\) и \(MD\) точкой \(N\) делятся пополам. По признаку параллелограмма четырёхугольник \(AMCD\) — параллелограмм.
Следовательно, \[ AM\parallel CD,\qquad AM=CD. \]
Точка \(M\) — середина \(AB\), поэтому \[ AM=MB. \] Кроме того, \(MB\) лежит на той же прямой, что и \(AM\), значит, \[ MB\parallel CD,\qquad MB=CD. \]
В четырёхугольнике \(MBCD\) противоположные стороны \(MB\) и \(CD\) равны и параллельны. Значит, \(MBCD\) — параллелограмм.
У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, поэтому \[ MD\parallel BC,\qquad MD=BC. \]
Точки \(M,N,D\) лежат на одной прямой, поэтому \[ MN\parallel BC. \] Кроме того, \[ MD=MN+ND=2MN, \] а так как \(MD=BC\), получаем: \[ 2MN=BC,\qquad MN=\frac12 BC. \]
Итог: средняя линия треугольника \(MN\) параллельна стороне \(BC\) и равна её половине: \[ \boxed{MN\parallel BC,\quad MN=\frac12 BC.} \]
Идея доказательства: достроить среднюю линию до диагонали параллелограмма, а затем дважды использовать свойства параллелограмма.
Обсуждение
2 сообщенияА ты не можешь прям начертить этот треугольник?
Конечно — вот чертёж-схема:
A
/ \
/ \
/ \
M-------N-------D
/ \ /
/ \ /
/ \ /
B---------------C
Пояснения к чертежу:
- \(M\) — середина \(AB\), поэтому \(AM=MB\);
- \(N\) — середина \(AC\), поэтому \(AN=NC\);
- точку \(D\) строим на продолжении \(MN\) так, чтобы \(ND=MN\);
- \(M,N,D\) лежат на одной прямой, поэтому \(MN=\frac12 MD\).
Чтобы начертить совсем точно, можно взять координаты:
\[ A(0;4),\quad B(-4;0),\quad C(4;0). \]
Тогда
\[ M(-2;2),\quad N(2;2),\quad D(6;2). \]
На этом чертеже хорошо видны два параллелограмма: \(AMCD\) и \(MBCD\). Из них и следует, что \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac12 BC\).
