154
Кратко: в № 154 нужно построить три параболы:
- а) \(y=-\frac12x^2+5\) — ветви вниз, вершина \((0;5)\);
- б) \(y=x^2-4x\) — ветви вверх, вершина \((2;-4)\);
- в) \(y=-x^2+6x-9\) — ветви вниз, вершина \((3;0)\).
Как строить параболу
Для функции \(y=ax^2+bx+c\):
- Находим вершину: \[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]
- Если \(a>0\), ветви направлены вверх; если \(a<0\) — вниз.
- Берём 2–3 точки слева и справа от вершины. Из-за симметрии значения \(y\) на одинаковом расстоянии от \(x_0\) совпадают.
- Соединяем точки плавной кривой — это парабола.
а) \(y=-\frac12x^2+5\)
Вершина: \[ x_0=0,\qquad y_0=5. \] Ветви вниз. Нули функции: \[ -\frac12x^2+5=0 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow x=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}16. \]
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-4&-2&0&2&4\\ \hline y&-3&3&5&3&-3 \end{array} \]
Стройте симметричную параболу с вершиной в \((0;5)\).
б) \(y=x^2-4x\)
Удобно выделить полный квадрат: \[ y=x^2-4x=(x-2)^2-4. \] Значит, вершина: \[ (2;-4). \] Ветви вверх. Нули: \[ x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0, \] то есть \(x=0\) и \(x=4\).
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-1&0&1&2&3&4&5\\ \hline y&5&0&-3&-4&-3&0&5 \end{array} \]
в) \(y=-x^2+6x-9\)
Преобразуем: \[ y=-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2. \] Вершина: \[ (3;0). \] Ветви вниз. График касается оси \(Ox\) в точке \(x=3\), но не пересекает её.
Таблица точек:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&-9&-4&-1&0&-1&-4&-9 \end{array} \]
Проверка: во всех трёх случаях точки слева и справа от вершины дают одинаковые значения \(y\), значит, парабола построена симметрично относительно своей оси.
