105

Краткий ответ:
а) \(f(x)\) — чётная функция;
б) \(g(x)\) — нечётная функция.

а) \(f(x)=x^2+1+\dfrac{1}{x^2-4}\)

Сначала найдём область определения:

\[ x^2-4\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne \pm 2. \]

Она симметрична относительно нуля: если \(x\) допустимо, то и \(-x\) допустимо.

Теперь подставим \(-x\):

\[ f(-x)=(-x)^2+1+\frac{1}{(-x)^2-4} =x^2+1+\frac{1}{x^2-4}=f(x). \]

Так как \(f(-x)=f(x)\), функция чётная.

б) \(g(x)=x^3+\dfrac{6}{x^5-x}\)

Область определения:

\[ x^5-x\ne 0 \]

\[ x(x^4-1)\ne 0 \]

\[ x(x-1)(x+1)(x^2+1)\ne 0, \]

поэтому

\[ x\ne 0,\quad x\ne \pm 1. \]

Область определения снова симметрична.

Подставляем \(-x\):

\[ g(-x)=(-x)^3+\frac{6}{(-x)^5-(-x)} \]

\[ =-x^3+\frac{6}{-x^5+x} \]

\[ =-x^3-\frac{6}{x^5-x} \]

\[ =-\left(x^3+\frac{6}{x^5-x}\right)=-g(x). \]

Так как \(g(-x)=-g(x)\), функция нечётная.

Вывод: для проверки чётности нужно убедиться, что область определения симметрична, и получить \(f(-x)=f(x)\). Для нечётности — что область симметрична и \(g(-x)=-g(x)\).