994?

Краткий ответ (№ 994):

а) \(5\)
б) \(1\)
в) \(\dfrac{1}{36}\)
г) \(144\)
д) \(\dfrac12\)
е) \(\dfrac1{81}\)

Главный приём: приводим все основания к одному числу и используем свойства степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

По шагам:

а)
\[ 125^{-1}\cdot25^2=(5^3)^{-1}\cdot(5^2)^2 =5^{-3}\cdot5^4=5^1=5. \]

б)
\[ 16^{-3}\cdot4^6=(4^2)^{-3}\cdot4^6 =4^{-6}\cdot4^6=4^0=1. \]

в)
\[ (6^2)^6:6^{14}=6^{12}:6^{14} =6^{12-14}=6^{-2}=\frac1{36}. \]

г)
\[ 12^0:(12^{-1})^2=1:12^{-2} =12^2=144. \]

д) \[ \frac{(2^3)^5\cdot(2^{-6})^2}{4^2} = \frac{2^{15}\cdot2^{-12}}{(2^2)^2} = \frac{2^3}{2^4} =2^{-1}=\frac12. \]

е) \[ \frac{(3^{-2})^3\cdot9^4}{(3^3)^2} = \frac{3^{-6}\cdot(3^2)^4}{3^6} = \frac{3^{-6}\cdot3^8}{3^6} = \frac{3^2}{3^6} =3^{-4}=\frac1{81}. \]