Реши задание на изображении

Рассмотрим неравенство:

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-3}\le 0 \]

1. ОДЗ

На ноль делить нельзя, поэтому:

\[ x-3\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 3 \]

То есть точка \(x=3\) не входит в ответ ни при каких условиях.

2. Нули числителя и знаменателя

Числитель равен нулю:

\[ (x-2)(x+3)=0 \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=-3 \]

Знаменатель равен нулю при:

\[ x=3 \]

Наносим на числовую прямую точки \(-3,\;2,\;3\).
Точки \(-3\) и \(2\) могут входить в ответ, так как неравенство нестрогое \(\le 0\).
Точка \(3\) не входит, потому что знаменатель обращается в ноль.

3. Определяем знаки на промежутках

Проверяем знак выражения:

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-3} \]

• При \(x<-3\), например \(x=-4\):

\[ \frac{(-6)(-1)}{-7}<0 \]

Знак «−».

• При \(-3<x<2\), например \(x=0\):

\[ \frac{(-2)(3)}{-3}=2>0 \]

Знак «+».

• При \(2<x<3\), например \(x=2{,}5\):

\[ \frac{(0{,}5)(5{,}5)}{-0{,}5}<0 \]

Знак «−».

• При \(x>3\), например \(x=4\):

\[ \frac{(2)(7)}{1}>0 \]

Знак «+».

4. Выбираем нужные промежутки

Нам нужно:

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-3}\le 0 \]

Подходят промежутки со знаком «−» и нули числителя:

\[ (-\infty;-3]\quad\text{и}\quad[2;3) \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[2;3)} \]

То есть \(x=-3\) и \(x=2\) включаются, а \(x=3\) не включается.

Это продолжение той же темы: снова дробно-рациональное неравенство, только в знаменателе теперь \(x-7\).

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-7}\le 0 \]

ОДЗ:

\[ x-7\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 7 \]

Нули числителя:

\[ (x-2)(x+3)=0 \] \[ x=2,\qquad x=-3 \]

На числовой прямой отмечаем точки \(-3,\;2,\;7\). Точка \(7\) выколота.

Знаки выражения:

\[ (-\infty;-3):\ - \] \[ (-3;2):\ + \] \[ (2;7):\ - \] \[ (7;+\infty):\ + \]

Нам нужны промежутки со знаком «\(-\)» и нули числителя:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[2;7)} \]

То есть \(x=-3\) и \(x=2\) включаются, а \(x=7\) не включается.

Это продолжение: внизу на фото задача №5 — та же, что мы уже разбирали.

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-7}\le 0,\qquad x\ne 7 \]

Нули числителя: \(x=-3\) и \(x=2\).
Знаки выражения на промежутках:

\[ (-,\;+,\;-,\;+) \]

Поэтому подходят промежутки со знаком «\(-\)», причём \(x=7\) выколото:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[2;7)} \]

Верхняя запись \(x\le 1{,}2\) относится к другому неравенству — для её проверки нужно исходное условие.

Это продолжение: нижняя задача №5 — та же, что мы уже разбирали.

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x-7}\le 0,\qquad x\ne 7 \]

Нули числителя: \(x=-3,\;2\). Знаки на промежутках чередуются, подходят отрицательные значения:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3]\cup[2;7)} \]

Верхняя запись на фото — другое задание. Там решение верное:

\[ x\le \frac{6}{5}=1{,}2 \]

\[ \boxed{x\in(-\infty;1{,}2]} \]

Условие верхнего неравенства на фото не видно, поэтому проверить его полностью нельзя.