длина 1 стороны треугольника на 10 см меньше другой найдите длины этих сторон если против них в треугольнике лежат углы 45 и 60
Краткий ответ:
Сторона, лежащая против угла \(45^\circ\), равна
\[
20+10\sqrt6\ \text{см},
\]
а сторона, лежащая против угла \(60^\circ\), равна
\[
30+10\sqrt6\ \text{см}.
\]
Как решать
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Значит, сторона против \(60^\circ\) больше, чем сторона против \(45^\circ\), на \(10\) см.
Пусть: \[ x \] — сторона против угла \(45^\circ\), тогда сторона против угла \(60^\circ\): \[ x+10. \]
По теореме синусов: \[ \frac{x}{\sin45^\circ}=\frac{x+10}{\sin60^\circ}. \]
Подставим значения: \[ \frac{x}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{x+10}{\frac{\sqrt3}{2}}. \]
Упростим: \[ x\sqrt2=\frac{2(x+10)}{\sqrt3}. \]
Умножим на \(\sqrt3\): \[ x\sqrt6=2x+20. \]
Значит: \[ x(\sqrt6-2)=20, \] \[ x=\frac{20}{\sqrt6-2}. \]
Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ x=\frac{20(\sqrt6+2)}{6-4}=10(\sqrt6+2)=20+10\sqrt6. \]
Тогда вторая сторона: \[ x+10=30+10\sqrt6. \]
Проверка
Их разность: \[ (30+10\sqrt6)-(20+10\sqrt6)=10\ \text{см}. \]
И по теореме синусов отношения совпадают: \[ \frac{20+10\sqrt6}{\sin45^\circ} = \frac{30+10\sqrt6}{\sin60^\circ}. \]
Значит, длины найдены верно.
Ответ:
\[
\boxed{20+10\sqrt6\ \text{см}\quad\text{и}\quad30+10\sqrt6\ \text{см}.}
\]
Обсуждение
4 сообщенияКак ты упростил
Уточню, какой именно переход был:
Было: \[ \frac{x}{\sin45^\circ}=\frac{x+10}{\sin60^\circ}. \]
Так как \[ \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] получаем: \[ \frac{x}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{x+10}{\frac{\sqrt3}{2}}. \]
Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь: \[ x\cdot\frac{2}{\sqrt2}=(x+10)\cdot\frac{2}{\sqrt3}. \]
Слева: \[ \frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2, \] поэтому: \[ x\sqrt2=\frac{2(x+10)}{\sqrt3}. \]
Дальше умножаем обе части на \(\sqrt3\): \[ x\sqrt2\cdot\sqrt3=2(x+10). \]
А \(\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6\), значит: \[ x\sqrt6=2(x+10), \] \[ x\sqrt6=2x+20. \]
Переносим \(2x\) влево: \[ x\sqrt6-2x=20, \] \[ x(\sqrt6-2)=20. \]
Отсюда: \[ x=\frac{20}{\sqrt6-2}. \]
Теперь избавляемся от корня в знаменателе. Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt6+2\): \[ x=\frac{20(\sqrt6+2)}{(\sqrt6-2)(\sqrt6+2)}. \]
В знаменателе формула разности квадратов: \[ (\sqrt6)^2-2^2=6-4=2. \]
Поэтому: \[ x=\frac{20(\sqrt6+2)}{2}=10(\sqrt6+2). \]
Раскрываем скобки: \[ x=10\sqrt6+20. \]
То есть: \[ x=20+10\sqrt6. \]
А вторая сторона: \[ x+10=30+10\sqrt6. \]
Если непонятен какой-то один переход — напиши, какой именно, разберём его отдельно.
С чего у тебя 2 делённое на корень 2 равно? Корень 2 корень не корень а почему нет
Тут нет ошибки:
\[
\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.
\]
Почему так? Потому что \(2=(\sqrt2)^2\). Значит: \[ \frac{2}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{\sqrt2} = \sqrt2. \]
Или так — умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt2\): \[ \frac{2}{\sqrt2} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} = \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2. \]
Проверим численно: \[ \sqrt2\approx1{,}414, \] \[ \frac{2}{1{,}414}\approx1{,}414. \]
То есть \(\sqrt2\) не равно \(2\), но \(2\), делённое на \(\sqrt2\), действительно равно \(\sqrt2\).
Поэтому в решении переход \[ x\cdot\frac{2}{\sqrt2}=x\sqrt2 \] правильный.
