3 угла четырёхугольника порядку равны 30-60 и 150 ° найдите отношение его диагоналей.

Краткий ответ: диагонали относятся как
\[ \sqrt{3}:1 \] (большая к меньшей); если наоборот, меньшая к большей — \(1:\sqrt{3}\).

Объяснение.

Пусть вершины четырёхугольника идут по порядку \(A,B,C,D\), и
\[ \angle A=30^\circ,\quad \angle B=60^\circ,\quad \angle C=150^\circ. \] Тогда четвёртый угол: \[ \angle D=360^\circ-(30^\circ+60^\circ+150^\circ)=120^\circ. \]

Противоположные углы дают: \[ \angle A+\angle C=30^\circ+150^\circ=180^\circ, \] \[ \angle B+\angle D=60^\circ+120^\circ=180^\circ. \] Значит, четырёхугольник вписанный — все его вершины лежат на одной окружности.

Пусть радиус этой окружности равен \(R\). Хорда \(AC\) видна из вершины \(B\) под углом \(60^\circ\), поэтому \[ AC=2R\sin60^\circ. \] Хорда \(BD\) видна из вершины \(A\) под углом \(30^\circ\), поэтому \[ BD=2R\sin30^\circ. \] Следовательно, \[ \frac{AC}{BD} = \frac{\sin60^\circ}{\sin30^\circ} = \frac{\sqrt3/2}{1/2} = \sqrt3. \]

То есть \[ AC:BD=\sqrt3:1. \]

Проверка: у вписанного четырёхугольника отношение хорд равно отношению синусов углов, на которые эти хорды опираются. Здесь это как раз \(\sin60^\circ\) и \(\sin30^\circ\), поэтому результат равен \(\sqrt3\).