Выполни 112 номер

Кратко

а), б) — прямые; в), г) — гиперболы; д) — парабола, ветви вниз; е) — кубическая парабола.
Графики строятся по точкам. Ниже — нужные точки и свойства каждой функции.

Общий принцип

• Для прямой \(y=kx+b\): если \(k>0\), функция возрастает; если \(k<0\) — убывает.
• Для гиперболы \(y=\frac{k}{x}\): при \(k>0\) ветви в I и III четвертях, функция убывает; при \(k<0\) — во II и IV, функция возрастает.
• Для параболы \(y=ax^2\): при \(a<0\) ветви направлены вниз, функция чётная.
• Для кубической параболы \(y=ax^3\): при \(a<0\) функция убывает на всей оси \(x\), функция нечётная.

Точки для построения

• а) \(y=-3x+1\): \((0;1)\), \((1;-2)\), \(\left(\frac13;0\right)\).
• б) \(y=5+2x\): \((0;5)\), \((-2{,}5;0)\), \((-1;3)\), \((1;7)\).
• в) \(y=-\frac3x\): \((-3;1)\), \((-1;3)\), \((1;-3)\), \((3;-1)\).
• г) \(y=\frac{1}{2x}\): \((1;0{,}5)\), \((2;0{,}25)\), \((-1;-0{,}5)\), \((-2;-0{,}25)\).
• д) \(y=-x^2\): \((0;0)\), \((1;-1)\), \((-1;-1)\), \((2;-4)\), \((-2;-4)\).
• е) \(y=-x^3\): \((0;0)\), \((1;-1)\), \((-1;1)\), \((2;-8)\), \((-2;8)\).

Свойства функций

а) \(y=-3x+1\)

• Прямая; \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
• Нуль: \(x=\frac13\).
• \(y>0\) при \(x<\frac13\); \(y<0\) при \(x>\frac13\).
• Убывает на всей области определения, так как \(k=-3<0\).
• Не ограничена; наибольшего и наименьшего значений нет.
• Не является ни чётной, ни нечётной.

б) \(y=5+2x\)

• Прямая; \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
• Нуль: \(x=-2{,}5\).
• \(y>0\) при \(x>-2{,}5\); \(y<0\) при \(x<-2{,}5\).
• Возрастает на всей области определения, так как \(k=2>0\).
• Не ограничена; экстремумов нет.
• Не является ни чётной, ни нечётной.

в) \(y=-\frac3x\)

• Гипербола, ветви во II и IV четвертях.
• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Нулей нет; \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\).
• Возрастает на \((-\infty;0)\) и на \((0;+\infty)\).
• Нечётная: \(f(-x)=-f(x)\).
• Не ограничена; наибольшего и наименьшего значений нет.
• Оси координат являются асимптотами.

г) \(y=\frac{1}{2x}\)

• Гипербола, ветви в I и III четвертях.
• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Нулей нет; \(y>0\) при \(x>0\), \(y<0\) при \(x<0\).
• Убывает на \((-\infty;0)\) и на \((0;+\infty)\).
• Нечётная.
• Не ограничена; асимптоты \(x=0\), \(y=0\).

д) \(y=-x^2\)

• Парабола, ветви вниз, вершина \((0;0)\), ось симметрии \(x=0\).
• \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;0]\).
• Нуль: \(x=0\); \(y<0\) при \(x\ne0\).
• Возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
• Чётная: \(f(-x)=f(x)\).
• Ограничена сверху: \(y_{\max}=0\) при \(x=0\); снизу не ограничена, наименьшего значения нет.

е) \(y=-x^3\)

• Кубическая парабола, симметрична относительно начала координат.
• \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
• Нуль: \(x=0\); \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\).
• Убывает на всей \(\mathbb R\).
• Нечётная: \(f(-x)=-f(x)\).
• Не ограничена; наибольшего и наименьшего значений нет.

Проверка

Подставь точки в формулы: например, в (в) при \(x=-1\):
\[ y=-\frac3{-1}=3 \] — точка \((-1;3)\) верна.
В (д) при \(x=2\):
\[ y=-2^2=-4 \] — точка \((2;-4)\) верна.
В (е) при \(x=-2\):
\[ y=-(-2)^3=8 \] — точка \((-2;8)\) верна.

Для похожего задания действуй так: определи вид функции и знак коэффициента → составь таблицу из 3–5 точек → построй график → опиши свойства по плану: \(D(y)\), \(E(y)\), нули, знаки, монотонность, чётность, ограниченность, наибольшее/наименьшее.