Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x_1 = 2,\qquad x_2 = 3\]

Как рассуждать

Способ 1. По теореме Виета (быстрый). Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) (где \(a = 1\)) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), то есть:

\[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6\]

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Разложение на множители. Подбираем числа, дающие в сумме \(-5\) и в произведении \(6\): это \(-2\) и \(-3\).

\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:

\[x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2; \qquad x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3\]

Способ 3. Через дискриминант (универсальный, работает всегда).

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}\] \[x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\]

Проверка

• \(x = 2\): \(\;4 - 10 + 6 = 0\) ✔
• \(x = 3\): \(\;9 - 15 + 6 = 0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить

Если \(a = 1\), сначала пробуй Виета или разложение на множители — это быстрее. Дискриминант выручает, когда корни некрасивые или подобрать числа трудно. И всегда полезно подставить корни обратно в уравнение: две минуты проверки спасают от потери баллов.