Реши задание на изображении

Решала всё по одной схеме — убирала корень возведением в квадрат, а потом проверкой отсеивала посторонние корни.

Общий ход:

1. Смотрела ОДЗ: под корнем \(\ge 0\). Если \(\sqrt{A}=B\), то ещё нужно \(B\ge0\).
2. Уединяла корень.
3. Возводила обе части в квадрат: \[ \sqrt{A}=B \Rightarrow A=B^2. \]
4. Решала получившееся уравнение, обычно квадратное.
5. Подставляла найденные \(x\) в исходное уравнение. При возведении в квадрат могут появиться «лишние» корни — их отбрасывала.

Пример — №3: \[ x+1=\sqrt{8-4x}. \] Возводим в квадрат: \[ (x+1)^2=8-4x, \] \[ x^2+2x+1=8-4x, \] \[ x^2+6x-7=0, \] \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-7. \]

Проверка:

• \(x=1:\quad 2=\sqrt4=2\) — верно;
• \(x=-7:\quad -6=\sqrt{36}=6\) — неверно.

Значит, \(x=-7\) посторонний, ответ: \(x=1\).

Так же в №6 и №9 после возведения получалось два корня, но один не подходил при проверке — поэтому в ответах осталось по одному. В №7 оба корня подошли: \(x=-3\) и \(x=4\).

Если нужно, скажи номер — распишу его полностью по шагам.

У меня в этом сообщении нет самого изображения с уравнениями — видны только номера и ответы, которые я давала раньше. Чтобы расписать все 10 решений по шагам, нужны сами условия.

Пришли, пожалуйста, фото ещё раз (или выпиши уравнения текстом) — и я распишу каждое полностью: ОДЗ, возведение в квадрат, корни, проверка.

Пока — полное решение того, что восстановить можно точно, №3:

\[ x+1=\sqrt{8-4x} \]

ОДЗ: \(8-4x\ge 0 \Rightarrow x\le 2\). Правая часть \(x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1\). Значит \(x\in[-1;2]\).

Возводим в квадрат: \[ (x+1)^2=8-4x \] \[ x^2+2x+1=8-4x \] \[ x^2+6x-7=0 \] \[ D=36+28=64,\qquad x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2} \] \[ x_1=1,\qquad x_2=-7 \]

Проверка:

• \(x=1\): \(1+1=2\), \(\sqrt{8-4}=\sqrt4=2\) — верно;
• \(x=-7\): \(-7+1=-6\), \(\sqrt{8+28}=\sqrt{36}=6\) — неверно (к тому же не входит в ОДЗ).

Ответ: \(x=1\).

Понял: нужны решения всех десяти примеров. Но в текущей переписке нет самого изображения с уравнениями — сохранились только номера и краткие ответы. Без условий я не могу честно расписать каждое решение: это будет выдумка.

Пришли, пожалуйста, фото ещё раз или выпиши уравнения текстом — можно просто списком. Тогда я распишу каждый пример по шагам: ОДЗ, уединение корня, возведение в квадрат, нахождение корней и проверка.

По фото на доске читаются такие уравнения. Решаю каждое: уединяю корень → возвожу в квадрат → проверяю корни.

1) \(\sqrt{5x+1}=3\) \[ 5x+1=9 \Rightarrow x=\frac85 \] Проверка: \(\sqrt9=3\). Ответ: \(\frac85\).

2) \(\sqrt{2x+5}=x\) Нужно \(x\ge0\). \[ 2x+5=x^2 \Rightarrow x^2-2x-5=0 \Rightarrow x=1\pm\sqrt6 \] \(1-\sqrt6<0\) — посторонний. Ответ: \(1+\sqrt6\).

3) \(x+1=\sqrt{8-4x}\) Условия: \(x\ge-1,\ x\le2\). \[ (x+1)^2=8-4x \Rightarrow x^2+6x-7=0 \Rightarrow x=1,\ x=-7 \] \(-7\) не подходит. Ответ: \(1\).

4) \(\sqrt{7x+1}=\sqrt{3x+4}\) \[ 7x+1=3x+4 \Rightarrow x=\frac34 \] Проверка проходит. Ответ: \(\frac34\).

5) \(\sqrt{x+17}-\sqrt{x+1}=2\) \[ \sqrt{x+17}=2+\sqrt{x+1} \] \[ x+17=4+4\sqrt{x+1}+x+1 \Rightarrow 12=4\sqrt{x+1} \Rightarrow \sqrt{x+1}=3 \Rightarrow x=8 \] Проверка: \(5-3=2\). Ответ: \(8\).

6) \(\sqrt{x+1}=1-x\) Нужно \(-1\le x\le1\). \[ x+1=1-2x+x^2 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x=0,\ x=3 \] \(x=3\) не подходит (\(1-3<0\)). Ответ: \(0\).

7) \(\sqrt{x^2-x-3}=3\) \[ x^2-x-3=9 \Rightarrow x^2-x-12=0 \Rightarrow x=4,\ x=-3 \] Оба подходят. Ответ: \(-3;\ 4\).

8) \(\sqrt{2+x}-\sqrt{1-x}=1\) \[ \sqrt{2+x}=1+\sqrt{1-x} \] \[ 2+x=1+2\sqrt{1-x}+1-x \Rightarrow 2x=2\sqrt{1-x} \Rightarrow \sqrt{1-x}=x \] Нужно \(x\ge0\). \[ 1-x=x^2 \Rightarrow x^2+x-1=0 \Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2} \] Подходит только положительный. Ответ: \(\frac{\sqrt5-1}{2}\).

9) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=-1\) \[ \sqrt{3x+1}=\sqrt{x+8}-1 \] \[ 3x+1=x+8-2\sqrt{x+8}+1 \Rightarrow 2x-8=-2\sqrt{x+8} \] \[ \sqrt{x+8}=4-x \] Нужно \(x\le4\). \[ x+8=16-8x+x^2 \Rightarrow x^2-9x+8=0 \Rightarrow x=1,\ x=8 \] \(x=8\) не подходит. Проверка \(x=1\): \(2-3=-1\). Ответ: \(1\).

10) \(\sqrt{x+4}=\sqrt{2x-1}\) \[ x+4=2x-1 \Rightarrow x=5 \] Проверка: \(\sqrt9=\sqrt9\). Ответ: \(5\).

Хорошо — расписываю каждое уравнение с явным дискриминантом. Где после возведения в квадрат получается линейное уравнение, дискриминант не нужен, это отмечаю.

1) \(\sqrt{5x+1}=3\) \[ 5x+1=9 \Rightarrow 5x=8 \Rightarrow x=\frac85 \] Линейное уравнение. Проверка: \(\sqrt9=3\). Ответ: \(\frac85\).

2) \(\sqrt{2x+5}=x\), нужно \(x\ge 0\) \[ x^2=2x+5 \Rightarrow x^2-2x-5=0 \] \[ D=4+20=24,\qquad \sqrt D=2\sqrt6 \] \[ x=\frac{2\pm2\sqrt6}{2}=1\pm\sqrt6 \] \(x=1-\sqrt6<0\) — посторонний.
Проверка для \(x=1+\sqrt6\): \(x^2=7+2\sqrt6\), \(2x+5=7+2\sqrt6\) — верно. Ответ: \(1+\sqrt6\).

3) \(x+1=\sqrt{8-4x}\), нужно \(-1\le x\le 2\) \[ (x+1)^2=8-4x \Rightarrow x^2+2x+1=8-4x \] \[ x^2+6x-7=0 \] \[ D=36+28=64**Пример 2:** \[ \sqrt{2x+5}=x \]

Так как корень равен \(x\), нужно \(x\ge 0\).

Возводим обе части в квадрат: \[ 2x+5=x^2 \] \[ x^2-2x-5=0 \]

Дискриминант: \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-5)=4+20=24 \] \[ \sqrt D=\sqrt{24}=2\sqrt6 \]

Корни: \[ x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt6}{2}=1\pm\sqrt6 \]

То есть: \[ x_1=1+\sqrt6,\qquad x_2=1-\sqrt6 \]

Но \(1-\sqrt6<0\), а должно быть \(x\ge0\). Поэтому этот корень посторонний.

Проверка для \(x=1+\sqrt6\): \[ 2x+5=2(1+\sqrt6)+5=7+2\sqrt6 \] \[ x^2=(1+\sqrt6)^2=1+2\sqrt6+6=7+2\sqrt6 \] Всё верно.

Ответ: \[ \boxed{x=1+\sqrt6} \]

4) \(\sqrt{7x+1}=\sqrt{3x+4}\)

ОДЗ: \(x\ge-\frac17\). Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \[ 7x+1=3x+4 \Rightarrow 4x=3 \Rightarrow x=\frac34 \] Уравнение линейное — дискриминант не нужен. Проверка: \(7\cdot\frac34+1=\frac{25}{4}\), \(3\cdot\frac34+4=\frac{25}{4}\), корни равны \(\frac52\). Ответ: \(\frac34\).

5) \(\sqrt{x+17}-\sqrt{x+1}=2\)

ОДЗ: \(x\ge-1\). Уединяем корень: \[ \sqrt{x+17}=2+\sqrt{x+1} \] Возводим в квадрат: \[ x+17=4+4\sqrt{x+1}+x+1 \] \[ 12=4\sqrt{x+1} \Rightarrow \sqrt{x+1}=3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8 \] Здесь тоже получилось линейное уравнение — дискриминант не нужен. Проверка: \(\sqrt{25}-\sqrt9=5-3=2\). Ответ: \(8\).

6) \(\sqrt{x+1}=1-x\)

Условия: \(x+1\ge0\) и \(1-x\ge0\), то есть \(-1\le x\le1\). Возводим в квадрат: \[ x+1=(1-x)^2 \Rightarrow x+1=1-2x+x^2 \] \[ x^2-3x=0 \] Через дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot0=9,\qquad \sqrt D=3 \] \[ x_{1,2}=\frac{3\pm3}{2} \Rightarrow x_1=3,\quad x_2=0 \] Проверка условия \(x\le1\): \(x=3\) не подходит (при нём \(1-x=-2<0\)).
\(x=0\): \(\sqrt1=1\), \(1-0=1\) — верно. Ответ: \(0\).