Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Короткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как решать
Это приведённое квадратное уравнение вида \[ x^2+px+q=0, \] где \(p=-5\), \(q=6\).
По теореме Виета: \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6. \]
Подбираем два числа, которые в сумме дают \(5\), а при умножении — \(6\): \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \] Значит, \[ x_1=2,\quad x_2=3. \]
Можно решить и через разложение на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \] поэтому \[ (x-2)(x-3)=0, \] откуда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка:
При \(x=2\):
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0.
\]
При \(x=3\):
\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0.
\]
Оба корня подходят. Главный принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) ищем два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\); если подобрать трудно, используем дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияЧто делать, если дискриминант равен нулю?
Короткий ответ: при \(D=0\) корень один (точнее, два совпадающих корня): \[ x=\frac{-b}{2a}. \] Формула \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) тоже работает: \(\sqrt{0}=0\), поэтому «плюс» и «минус» дают одно и то же число.
Почему так
- Дискриминант \(D=b^2-4ac\) показывает, сколько раз парабола \(y=ax^2+bx+c\) пересекает ось \(Ox\):
- \(D>0\) — две точки пересечения, два разных корня;
- \(D=0\) — парабола касается оси в одной точке (это вершина), корень один;
- \(D<0\) — пересечений нет, действительных корней нет.
- Если \(D=0\), то квадратный трёхчлен — полный квадрат: \[ ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2. \] Скобка равна нулю только при \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Пример
\[ x^2-6x+9=0 \] Здесь \(a=1,\ b=-6,\ c=9\): \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. \] Значит, \[ x=\frac{6}{2\cdot1}=3. \]
Проверка через разложение: \[ x^2-6x+9=(x-3)^2=0 \;\Rightarrow\; x=3. \] Подстановкой: \(9-18+9=0\) — верно.
Вывод-алгоритм: считаешь \(D\); если получился \(0\), не пиши «корней нет» — бери \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (один корень, или «два совпадающих»), и в ответе указывай одно значение.
