Реши задание на изображении
Кратко
- Все четыре графика — параболы. Их вершины: a) \((0;0)\); б) \((0;1{,}5)\); в) \((-1;0)\); г) \((2;-1)\).
- Точек пересечения графиков \(y=x^2+1\) и \(y=3x-2\) нет.
- Для \(y=x^2-6x+5\):
- а) \(y(0{,}5)=2{,}25\);
- б) \(x=3\pm\sqrt3\);
- в) нули \(x=1\) и \(x=5\); \(y>0\) при \(x<1\) или \(x>5\), \(y<0\) при \(1<x<5\);
- г) функция возрастает при \(x\ge3\);
- д) \(E(y)=[-4;+\infty)\).
- \(a=-24\).
1. Построение графиков
Удобно пользоваться записью
\[ y=a(x-h)^2+k \]
— это парабола \(y=ax^2\), сдвинутая в точку с вершиной \((h;k)\). Если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\) — вниз. Коэффициент \(2\) растягивает график по вертикали.
| Функция | Вершина | Ветви | Удобные точки |
|---|---|---|---|
| a) \(y=2x^2\) | \((0;0)\) | вверх | \((\pm1;2),\ (\pm2;8)\) |
| б) \(y=-2x^2+1{,}5\) | \((0;1{,}5)\) | вниз | \((\pm1;-0{,}5),\ (\pm2;-6{,}5)\) |
| в) \(y=-2(x+1)^2\) | \((-1;0)\) | вниз | \((-2;-2),(0;-2)\) |
| г) \(y=2(x-2)^2-1\) | \((2;-1)\) | вверх | \((1;1),(3;1),(0;7),(4;7)\) |
Все четыре параболы нужно нарисовать в одной системе координат по этим опорным точкам.
2. Точки пересечения
Приравниваем функции:
\[ x^2+1=3x-2 \]
\[ x^2-3x+3=0 \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0 \]
Дискриминант отрицательный, значит действительных корней нет. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.
3. Функция \(y=x^2-6x+5\)
Выделим полный квадрат:
\[ y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4 \]
Значит, вершина параболы:
\[ (3;-4) \]
Ветви направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положительный.
Нули функции:
\[ x^2-6x+5=0 \]
\[ x=1,\quad x=5 \]
Полезные точки для построения:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&5&0&-3&-4&-3&0&5 \end{array} \]
Строим параболу через эти точки с вершиной \((3;-4)\).
а) \(y\) при \(x=0{,}5\)
\[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5 \]
\[ y=0{,}25-3+5=2{,}25 \]
Ответ: \(2{,}25\).
б) \(x\), при которых \(y=-1\)
\[ (x-3)^2-4=-1 \]
\[ (x-3)^2=3 \]
\[ x-3=\pm\sqrt3 \]
\[ x=3\pm\sqrt3 \]
Ответ: \(x=3-\sqrt3\) и \(x=3+\sqrt3\).
Примерно это \(1{,}27\) и \(4{,}73\).
в) Нули и промежутки знакопостоянства
Нули:
\[ x=1,\quad x=5 \]
Так как ветви параболы направлены вверх:
\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty) \]
\[ y<0 \text{ при } x\in(1;5) \]
\[ y=0 \text{ при } x=1 \text{ и } x=5 \]
г) Промежуток возрастания
Вершина находится в точке \(x=3\). Правее неё парабола возрастает:
\[ x\in[3;+\infty) \]
Ответ: функция возрастает при \(x\ge3\).
д) Множество значений
Наименьшее значение функции равно \(-4\), сверху значения не ограничены:
\[ E(y)=[-4;+\infty) \]
4. Нахождение параметра \(a\)
Дано:
\[ y=x^2+2x+a \]
Выделим полный квадрат:
\[ x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1 \]
Квадрат \((x+1)^2\) всегда неотрицателен, поэтому наименьшее значение функции:
\[ a-1 \]
По условию оно равно \(-25\):
\[ a-1=-25 \]
\[ a=-24 \]
Ответ: \(a=-24\).
Проверка:
\[ y=x^2+2x-24=(x+1)^2-25 \]
Наименьшее значение действительно \(-25\).
