мне только первый вариант

Краткие ответы (1 вариант)

1. Точки \(A(0;1;5)\), \(B(1;3;4)\), \(C(3;5;0)\), \(D(1;1;-6)\), \(M(5;0;4)\) отмечаются в одной пространственной системе координат.
2. а) на оси абсцисс \(Ox\): \(C(2;0;0)\);
   б) в плоскости \(Oyz\): \(B(0;0;-7)\), \(E(0;-1;0)\), \(G(0;5;-7)\).
3. \(AB=4\sqrt2\).
4. Середина: \(\left(\frac52;\,4;\,-1\right)\).
5. Остальные вершины куба:
   \(C(0;1;1)\), \(B_1(1;0;1)\), \(D_1(1;1;0)\), \(C_1(1;1;1)\).
6. Если начало координат в \(B\), а оси направлены вдоль \(BA\), \(BC\), \(BB_1\) (как на рисунке), то
   \[ B(0;0;0),\quad A(3;0;0),\quad C(0;8;0),\quad D(3;8;0), \] \[ B_1(0;0;5),\quad A_1(3;0;5),\quad C_1(0;8;5),\quad D_1(3;8;5). \]

Как это получается

№ 1. Построение точек

В пространстве точка задаётся тремя числами: \(M(x;y;z)\).
От начала координат откладываем:

• \(x\) — по оси \(Ox\),
• \(y\) — по оси \(Oy\),
• \(z\) — по оси \(Oz\).

Например, \(A(0;1;5)\): по \(x\) ничего не откладываем, по \(y\) — \(1\), по \(z\) — \(5\).
Точка \(C(3;5;0)\) лежит в плоскости \(Oxy\), потому что \(z=0\).
Точка \(M(5;0;4)\) лежит в плоскости \(Oxz\), потому что \(y=0\).

№ 2. Признаки принадлежности

• Ось абсцисс \(Ox\): у точки \(y=0\) и \(z=0\). Подходит только \(C(2;0;0)\).
• Плоскость \(Oyz\): у точки \(x=0\). Подходят \(B\), \(E\), \(G\).

№ 3. Расстояние

Формула: \[ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \] \[ AB=\sqrt{(5-1)^2+(-6+2)^2+(3-3)^2} =\sqrt{16+16+0}=4\sqrt2. \]

№ 4. Середина отрезка

Координаты середины — среднее арифметическое координат концов: \[ M\left(\frac{-1+6}{2};\frac{3+5}{2};\frac{1+(-3)}{2}\right) =\left(2{,}5;4;-1\right). \]

Проверка: \(\overrightarrow{AM}=(3{,}5;1;-2)\), \(\overrightarrow{MB}=(3{,}5;1;-2)\) — равны.

№ 5. Куб

Из вершины \(A\) выходят три ребра: \[ \overrightarrow{AB}=(0;0;1),\quad \overrightarrow{AD}=(0;1;0),\quad \overrightarrow{AA_1}=(1;0;0). \] Они перпендикулярны и равны по длине. Поэтому остальные вершины получаем сложением векторов: \[ C=B+D-A=(0;1;1), \] \[ B_1=B+A_1-A=(1;0;1), \] \[ D_1=D+A_1-A=(1;1;0), \] \[ C_1=C+A_1-A=(1;1;1). \]

№ 6. Прямоугольный параллелепипед

На рисунке оси выходят из вершины \(B\). Тогда координаты вершины — это длины рёбер вдоль соответствующих осей:

• вдоль \(BA\): \(3\),
• вдоль \(BC\): \(8\),
• вдоль \(BB_1\): \(5\).

Поэтому: \[ B(0;0;0),\quad A(3;0;0),\quad C(0;8;0),\quad D(3;8;0), \] \[ B_1(0;0;5),\quad A_1(3;0;5),\quad C_1(0;8;5),\quad D_1(3;8;5). \]

Проверка: \(AB=3\), \(BC=8\), \(BB_1=5\) — совпадает с измерениями параллелепипеда.