Реши № 1176
Краткий ответ:
а) \(\frac{1}{16}\); б) \(-\frac{1}{27}\); в) \(-1\); г) \(1\); д) \(49\);
е) \(-\frac{27}{8}=-3\frac{3}{8}\); ж) \(\frac{32}{243}\); з) \(\frac{25}{144}\); и) \(10\,000\); к) \(\frac{8}{9}\).
Главное правило
Отрицательная степень «переворачивает» основание:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \]
Знак результата зависит от показателя: отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.
Решение по пунктам
а) \[ 4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}. \]
б) \[ (-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}. \]
в) \[ (-1)^{-9}=\frac{1}{(-1)^9}=-1. \]
г) \[ (-1)^{-20}=\frac{1}{(-1)^{20}}=1. \]
д) \[ \left(\frac17\right)^{-2}=7^2=49. \]
е) \[ \left(-\frac23\right)^{-3} =\left(-\frac32\right)^3 =-\frac{27}{8} =-3\frac38. \]
ж) Сначала переведём смешанную дробь: \[ 1\frac12=\frac32, \] тогда \[ \left(\frac32\right)^{-5} =\left(\frac23\right)^5 =\frac{32}{243}. \]
з) \[ -2\frac25=-\frac{12}{5}, \] поэтому \[ \left(-\frac{12}{5}\right)^{-2} =\left(-\frac{5}{12}\right)^2 =\frac{25}{144}. \]
и) \[ 0{,}01=\frac{1}{100}, \] значит \[ \left(\frac{1}{100}\right)^{-2}=100^2=10\,000. \]
к) \[ 1{,}125=\frac98, \] поэтому \[ \left(\frac98\right)^{-1}=\frac89. \]
Проверка принципа: например, в пункте а) \[ 4^{-2}\cdot 4^2=4^0=1, \] значит \(4^{-2}\) действительно равно \(\frac{1}{16}\).
Обсуждение
2 сообщенияС решением
Да, вот подробное оформление решения.
Используем правило:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n. \]
а)
\[
4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}.
\]
б)
\[
(-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}.
\]
в)
\[
(-1)^{-9}=\frac{1}{(-1)^9}=\frac{1}{-1}=-1.
\]
г)
\[
(-1)^{-20}=\frac{1}{(-1)^{20}}=\frac{1}{1}=1.
\]
д)
\[
\left(\frac17\right)^{-2}
=\left(\frac71\right)^2
=7^2=49.
\]
е)
\[
\left(-\frac23\right)^{-3}
=\left(-\frac32\right)^3
=-\frac{3^3}{2^3}
=-\frac{27}{8}
=-3\frac38.
\]
ж)
Сначала переведём смешанную дробь:
\[
1\frac12=\frac32.
\]
Тогда
\[
\left(1\frac12\right)^{-5}
=\left(\frac32\right)^{-5}
=\left(\frac23\right)^5
=\frac{2^5}{3^5}
=\frac{32}{243}.
\]
з)
\[
-2\frac25=-\frac{12}{5},
\]
поэтому
\[
\left(-2\frac25\right)^{-2}
=\left(-\frac{12}{5}\right)^{-2}
=\left(-\frac{5}{12}\right)^2
=\frac{25}{144}.
\]
и)
\[
0{,}01=\frac{1}{100},
\]
значит
\[
0{,}01^{-2}
=\left(\frac{1}{100}\right)^{-2}
=100^2
=10\,000.
\]
к)
\[
1{,}125=\frac98,
\]
поэтому
\[
1{,}125^{-1}
=\left(\frac98\right)^{-1}
=\frac89.
\]
Ответы:
\[ \text{а) }\frac1{16};\quad \text{б) }-\frac1{27};\quad \text{в) }-1;\quad \text{г) }1; \] \[ \text{д) }49;\quad \text{е) }-\frac{27}{8}=-3\frac38;\quad \text{ж) }\frac{32}{243}; \] \[ \text{з) }\frac{25}{144};\quad \text{и) }10\,000;\quad \text{к) }\frac89. \]
